直线相对位置-计算机实验工程图形学.下册

更新时间：2025-01-18 工作计划版权反馈

【摘要】：图1-24 平行两直线的投影特性已知两直线l1：和l2：，则两直线平行的条件为当两平行直线各端点位置确定后，方程中各参数l1、m1、n1，l2、m2、n2在投影图中都有对应的大小，如图1-25所示。图1-25 平行两直线方程中各参数的几何含义相交两直线两直线在空间相交，其同面投影必相交，且交点的连线垂直于相应的投影轴。根据重影点前遮后、上遮下、左遮右的原则可以判定两直线的空间位置。

（1）平行两直线在投影空间中两直线平行，则它们的同面投影均相互平行，如图1-24所示。空间AB和CD两直线平行，由于投影方向一致，故ABba和CDdc为两个平行平面，则它们与H面的交线ab和cd也相互平行，同理可知a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″。

图1-24 平行两直线的投影特性

已知两直线l₁：和l₂：，则两直线平行的条件为

当两平行直线各端点位置确定后，方程中各参数l₁、m₁、n₁，l₂、m₂、n₂在投影图中都有对应的大小，如图1-25所示。由此，可在平行两直线的投影图上量取l₁、m₁、n₁，l₂、m₂、n₂，并各取一个点的坐标，即可将投影图转换成平行两直线的方程式。

图1-25 平行两直线方程中各参数的几何含义

（2）相交两直线两直线在空间相交，其同面投影必相交，且交点的连线垂直于相应的投影轴。如图1-26所示，空间两直线AB、CD相交于K点，由于交点是两直线共有点，根据直线上点的从属性可知，K点的水平投影k必在ab和cd的交点上，同样k′必在a′b′和c′d′的交点上，k″必在a″b″和c″d″的交点上。又由于k、k′、k″均为空间点K的投影，所以它们必满足点的投影规律，即k′k⊥OX，k′k″⊥OZ，kk″⊥OY。当已知两直线方程时，为了求得两直线交点的坐标，先将两直线化成参数式，即

图1-26 相交两直线

因交点是两直线公共点，故有

利用式（1-17）的前两式即可求出t₁、t₂，得

将所求的t₁、t₂代入直线参数方程式（1-15）或式（1-16）即可求得交点坐标。

反过来，当相交两直线各端点位置确定后，从投影图（图1-27）上量取l₁、m₁、n₁，l₂、m₂、n₂和交点K的坐标，即可得到两相交直线的参数方程，即

（3）交叉两直线空间两直线交叉，它们的投影既不符合两直线平行的投影特性，也不符合两直线相交的投影特性。如图1-28b所示，AB和CD两直线的V面和H面投影虽然相交，但交点连线不垂直于X轴，故其水平投影ab和cd的交点1、2和正面投影a′b′和c′d′的交点3′、4′点，实际上是重影点。根据重影点前遮后、上遮下、左遮右的原则可以判定两直线的空间位置。从图中可见，对应重影点1、2是正面投影c′d′上的1′点和a′b′上的2′点，其中1′点高于2′点（z坐标大），故对水平投影而言，1在2之上为可见，2在1之下被遮住为不可见，加括号表示；同理，正面投影的重影点上，根据3、4点的y坐标大小，可知3点在前为可见，4点在后为不可见，空间情况如图1-28a所示。