计算机实验工程图形学平面投影与方程

空间物体上的平面在三投影面体系中的投影，是由构成该平面的点、线等几何元素的同面投影所确定的，因此，在投影图中可以用下面任一组几何元素的投影表示平面，如图1-12所示。

图1-12 表示平面的各种几何元素

a）不在同一直线上的三点 b）一直线和线外一点 c）两平行直线 d）两相交直线 e）任意的平面图形（如三角形、圆等）

从图1-12中可见，各种表示法可以相互转化，而其中不在同一直线上的三点是决定平面位置的基本几何元素。

给出不共线的三点P₁（x₁，y₁，z₁），P₂（x₂，y₂，z₂），P₃（x₃，y₃，z₃），就可以唯一地确定一个平面，设P（x，y，z）为平面上任一点，它满足共面的条件为

由此共面条件可得平面P的一般方程为

Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0） （1-11）

根据式（1-11）绘制平面的方法是求出平面与各坐标轴X、Y、Z的交点，，，，连接NM得到平面与V投影面的交线，成为平面迹线P_V，连接ML得到平面与H投影面的交线，成为平面迹线P_H，连接LN得到平面与W投影面的交线，成为平面迹线P_W。如图1-13所示，P_V、P_H、P_W三条迹线构成的平面称为迹线平面。过M、L、N三点的平面方程的坐标形式是

因为a、b、c为平面在坐标轴上的截距，所以方程式（1-12）称为平面的截距方程。(www.xing528.com)

例1-3 将平面6x+9y+5z-54=0用迹线平面的投影图表示。

图1-13 迹线平面

解 由式（1-11）、式（1-12）可知，该平面与三个坐标轴的截距为：a=9，b=6，c=10.8，据此可定出平面与三个坐标轴的交点M、L、N，连接M、N，M、L，L、N，即可得P_V、P_H、P_W三条迹线，如图1-14所示。

例1-4 根据图1-15中A、B、C三点的投影，写出此三点所代表的平面的截距式方程。

图1-14 由平面方程转换成投影图

图1-15 由平面投影图 转换成方程

解 将A、B、C三点所代表的平面转换成迹线平面。具体步骤为：连接A、B两点为AB直线，延长AB直线并求出其与H投影面的交点N。同样，连接B、C两点为BC直线，延长BC直线并求出其与H投影面的交点M。N、M称为水平迹点，将此两个水平迹点用直线相连，得到A、B、C三点所代表的平面的水平迹线P_H，延长P_H与X轴交于P_x点，平面的正面迹线P_V必过P_x点，因此只需再求出一个正面面迹点E，将E点与P_x点用直线相连就得到了正面迹线P_V。为此，将A、B两点连接成AB直线，延长AB直线求出其与V面的交点即为E点，如图1-15所示。将A、B、C三点所代表的平面转换成迹线平面后，量取三个坐标轴的截距为：a=172，b=179.5，c=269.5，由此得到平面的截距式方程为。