【摘要】：定理1设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在Ω上具有一阶连续偏导数，则有或图11-36其中，Σ是Ω的整个边界曲面的外侧；cosα，cosβ，cosγ为Σ上点（x，y，z）处的法向量n的方向余弦.式（11-28）、式（11-28′）称为高斯公式.证明设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假定穿过Ω的内部且平行于z轴的直线与Ω的边
定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
图11-36
其中，Σ是Ω的整个边界曲面的外侧；cosα，cosβ，cosγ为Σ上点（x，y，z）处的法向量n的方向余弦.式（11-28）、式（11-28′）称为高斯公式.
证明 设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假定穿过Ω的内部且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个.这样，可设Σ是由曲面Σ1：z=z1（x，y），Σ2：z=z2（x，y）和边界柱面Σ3所围成，其中Σ1取下侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧（见图11-36）.
一方面，根据三重积分的计算法，有
另一方面，有
以上3式相加，得
因此
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类似地，有
把以上3式两端分别相加，即得高斯公式.
若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干各小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
图11-37
例1 利用高斯公式计算曲面积分
其中Σ为柱面x2+y2=1及平面z=0，z=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（见图11-37）.
解 这里
由高斯公式，有
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