微积分（下册）中的格林（Green）公式

定理1　设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有

其中，L是D的取正向的边界曲线.

证明　根据区域D的不同形状，一般可分为3种情况证明.

（1）若D既是X型区域又是Y型区域（见图11-19），设

另外，由第二型曲线积分的性质及计算法有

因此

　由于D既是X型区域又是Y型区域，因此，以上两式同时成立，两式合并即得

（2）若区域D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割为有限个既是X型区域又是Y型区域的小区域（见图11-20），即

图11-20

图11-21

（3）若区域D为有限个“洞”的复连通区域，只证明只有一个洞的情况（见图11-21），即

注　对复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对于区域D来说都是正向.

例1　计算曲线积分

其中，L为曲线y=sin x上从点O（0，0）到点A（π，0）的一段弧.

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图11-22

由格林公式

设区域D的边界曲线为L，取P=-y，Q=x，则由格林公式得到一个计算平面区域D的面积SD的公式

可用上述公式来求平面图形的面积.

解　设D是由椭圆x=a cosθ，y=b sinθ所围成的区域.

令P=-y，Q=x，则

于是，由格林公式

（1）当原点不在L所围区域D内时，由格林公式可得

图11-23

（2）当原点在L所围区域D内时，不能用格林公式.这时，以原点O（0，0）为圆心，适当小的r＞0为半径，作圆l：x2+y2=r2，使其含于区域D内.记L和l所围成的闭区域为D1（见图11-23）.对复连通区域D1应用格林公式，得

其中，l的方向取逆时针方向.利用l的参数方程x=r cosθ，y=r sinθ（0≤θ≤2π），得