微积分下册第二型曲线积分的概念与性质

设在xOy平面内有一条从A点到B点的光滑曲线弧L，一质点在变力

的作用下沿光滑曲线弧L从点A移动到点B（其中，P（x，y），Q（x，y）是定义在L上的连续函数），求变力F（x，y）所做的功.

如果质点受到常力F的作用，且质点从点A沿直线移动到点B，则常力F所做的功为

如果质点受到变力F的作用，可采用微元法来解决.

图11-14

则得到变力F（x，y）沿曲线L从A点到B点所做功的近似值.显然，有向曲线L的分割越细，则近似程度就越高.如果极限

存在（λ是各小弧段长度的最大值），则称这个极限值为变力F（x，y）沿曲线L从A点到B点所做的功.

抽去上述问题的物理意义，便得到第二型曲线积分的定义.

存在，并且极限值与有向曲线L的分法及点（ξ1，η1）的取法都无关，则称此极限值为函数P（x，y）在有向曲线L上的第二型曲线积分或对坐标x的曲线积分，记作

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即

同理，有

若二者同时存在，则可记为　

这样，在变力F（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j作用下沿光滑曲线弧L从点A移动到点B所做的功为

特别地，如果L是有向闭曲线，则记作

若记F（x，y）=（P（x，y），Q（x，y）），dr=（dx，dy），则式（11-19）可写成向量形式为

第二类曲线积分定义在有向曲线上，它具有的性质如下：

性质1（方向性）　设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则

性质2（路径可加性）　如果把L分成L1和L2，则