微积分（下册）：柱面坐标计算三重积分方法

设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为（ρ，θ），则这样的3个数ρ，θ，z就称为点M的柱面坐标（见图11-5），这里规定ρ，θ，z的变化范围为

点M的直角坐标（x，y，z）与柱面坐标（ρ，θ，z）的关系为

柱面坐标系中的三簇坐标面分别为：

ρ=常数，即以z轴为轴的圆柱面；

θ=常数，即过z轴的半平面；

z=常数，即与xOy面平行的平面.

现在来考察三重积分在柱面坐标系下的形式.为此，用柱面坐标系中的三簇坐标面把空间区域Ω划分为许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体.考虑由ρ，θ，z各取得微小增量dρ，dθ，dz所围成柱体的体积，如图11-6所示.

在不计高阶无穷小时，这个柱体的体积可近似看成边长为ρdθ，dρ，dz的长方体的体积，故得到柱面坐标系中的体积元素

简单来说，dxdy=ρdρdθ，dxdydz=dxdy·dz=ρdρdθdz.再利用关系式（11-5），就得到柱面坐标系中的三重积分

图11-5

(www.xing528.com)

图11-6

为了把式（11-6）右端的三重积分化为累次积分，假定平行于z轴的直线与区域Ω的边界最多只有两个交点.设Ω在xOy面上的投影为Dxy，区域Dxy用ρ，θ表示.区域Ω关于xOy面的投影柱面将Ω的边界曲面分为上下两部分，设下曲面方程为z=z1（ρ，θ），上曲面方程为z=z2（ρ，θ），z1（ρ，θ）≤z≤z2（ρ，θ），（ρ，θ）∈Dxy，于是

注　采用柱面坐标按上述公式计算三重积分，实际上是对z采用直角坐标进行积分，而对另两个变量采用平面极坐标变换进行积分.

解　闭区域Ω可表示为

于是　

解　闭区域Ω可表示为

于是