投影法：闭区域Ω投影与曲面S的交线分析

图11-1

假设平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面S相交不多于两点.把闭区域Ω投影到xOy面上，得一平面闭区域Dxy（见图11-1），以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面.此柱面与曲面S的交线从S中分出上下两部分，它们的方程分别为

其中，z1（x，y）与z2（x，y）都是Dxy上的连续函数，且z1（x，y）≤z2（x，y）.过Dxy内任意一点（x，y）作平行于z轴的直线，这一直线通过曲面S1穿入Ω内，然后通过曲面S2穿出Ω外，穿入点和穿出点的竖坐标分别为z1（x，y），z2（x，y）.于是，积分区域Ω可表示为

首先将x，y看成定值，而将f（x，y，z）只看成z的函数，在区间[z1（x，y），z2（x，y）]上对z积分.积分的结果是x，y的函数，记为F（x，y），即

然后计算F（x，y）在闭区域Dxy上的二重积分

假如闭区域

把这个二重积分化为二次积分，则得到三重积分的计算公式

式（11-3）把三重积分化为先对z再对y，最后对x的三次积分.

如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域Ω投影到yOz面上或zOx面上，这样便可把三重积分化为其他顺序的三次积分.如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.

解　作出闭区域Ω，如图11-2所示.(www.xing528.com)

将Ω投影到xOy面上，得到的投影区域Dxy为三角形闭区域OAB.直线OA，OB及AB的方程依次为y=0，x=0及x+2y=1，故

在Dxy内任取一点（x，y），过此点作平行于z轴的直线，该直线通过平面z=0穿过Ω内，然后通过平面z=1-x-2y穿出Ω外，即有0≤z≤1-x-2y.于是

图11-2

解　曲面z=x2+2y2为开口向上的椭圆抛物面，而z=2-x2为母线平行于y轴的开口向下的抛物柱面，解方程组

即可得到这两个曲面的交线为x2+y2=1.由此可知，这两个曲面所围成的空间立体Ω的投影区域为Dxy：x2+y2≤1.由这两个曲面的图形特征可知，在投影区域Dxy上，z=2-x2为上曲面，z=x2+2y2为下曲面.于是，积分区域Ω可表示为

所以

而投影区域Dxy的积分限为

于是