微积分（下册）：三角级数和三角函数系的正交性

本书的第1章已介绍了周期函数的概念.周期函数反映了客观世界的周期变化.正弦函数是一种常见且简单的周期函数.例如，描写简谐振动的函数

在实际生活中，除了正弦函数，还会遇到一些反映更复杂周期变化的周期函数.例如，电子技术中常遇到的周期为T的矩形波（见图10-1）就是一个非正弦周期函数的例子.

图10-1

其中，A0，An，φn（n=1，2，3，…）都是常数.

以上展开式的物理意义在于，把一个复杂的周期运动看成许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为谐波分析.其中，常数项A0称为f（t）的直流分量；A1 sin（ωt+φ1）称为一次谐波；A2 sin（2ωt+φ2），A3 sin（3ωt+φ3）分别称为二次谐波、三次谐波；以此类推.

为了讨论方便，将正弦函数An sin（nωt+φn）变形为：

形如式（10-22）的级数称为三角级数.其中，a0，an，bn（n=1，2，3，…）为常数.

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即把以2l为周期的三角级数转化为以2π为周期的三角级数.下面讨论以2π为周期的三角级数（10-23）.

如同讨论幂级数一样，需讨论三角级数（10-23）的收敛性，以及如何将给定周期为2π的周期函数展开成三角级数（10-23）.为此，首先介绍三角函数系的正交性.

所谓三角函数系

在[-π，π]上正交，是指在三角函数系（10-24）中，任何两个不同函数的乘积在[-π，π]上的积分为零，即

以上式子都可通过定积分的运算来验证，如对第四式（其他的式子可自行验证），利用三角函数的积化和差公式可得到

当k≠n时，有

在三角函数系（10-24）中，两个相同函数的乘积在[-π，π]上的积分不等于零，即