微积分（下册）：幂级数的收敛性

在研究一个比较复杂的函数时，往往把它表示为无穷个简单函数的和，即将该函数展开成（函数项）无穷级数，通过对相应的函数项无穷级数的研究代替对该函数的研究.函数项级数中最简单且最常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓的幂级数，它的形式为

其中，常数a0，a1，a2，…，an，…称为幂级数的系数.例如

都是幂级数.

根据上述分析，可得到以下重要结论：

上述推论中的正数R称为幂级数的收敛半径.（-R，R）称为幂级数的收敛区间.若幂级数的收敛域为D，则

因此，幂级数的收敛域为D是收敛区间（-R，R）与收敛端点的并集.

特别地，如果幂级数只在x=0处收敛，则规定收敛半径R=0，收敛域只有一个点x=0；如果幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径R=+∞，此时收敛域为（-∞，+∞）.

关于幂级数收敛半径的求法，有以下定理：

（2）当ρ=0时，此幂级数的收敛半径R=+∞；

（3）当ρ=+∞时，此幂级数的收敛半径R=0.(www.xing528.com)

注　根据幂级数的系数形式，有时也可根据根值判别法来求收敛半径，此时有

（3）写出幂级数的收敛域.

例2　求下列幂级数的收敛域：

解　（1）因为

所以收敛半径R=1.

所以收敛半径R=0，即题设级数只在x=0处收敛.

（3）因为

所以收敛半径R=+∞，所求收敛域为（-∞，+∞）.

解　题设级数缺少偶数次幂，此时不能用定理2中的方法求收敛半径，但可直接利用比值判别法来求.由于