本节研究无穷级数中的一类重要级数——正项级数.它是研究一般级数的重要突破口.
定义1 如果级数的每一项都是非负的，则称此级数为正项级数.
根据数列的单调有界准则可知，{sn}收敛的充要条件是{sn}有界.由于级数与其部分和数列有相同的敛散性，因此，有以下的定理：
定理1是接下来证明一系列判别法的基础.
解 显然
即部分和数列{sn}有界，故此时p-级数是收敛的.
综上所述，当0＜p≤1时，p-级数发散；当p＞1时，p-级数收敛.
注 比较判别法是判别正项级数敛散性的一种重要方法，其关键点在于找到一个已知的级数来判别其敛散性.只有知道一些重要级数的敛散性，并灵活运用，才能熟练地掌握比较判别法.截至目前，我们已熟悉的重要级数有等比级数、调和级数和p-级数.
要应用比较判别法来判定给定级数的敛散性，就必须建立此级数的一般项与另一已知级数的一般项之间的不等式关系.但有时，这种方法操作起来相当困难，为此，给出比较判别法的极限形式.
（1）当0＜l＜+∞时，这两个级数有相同的敛散性；
p-级数是比较判别法中被使用频率较高的一种级数，如果将给定的级数与p-级数相比较，可得到以下推论：
故根据推论1可知，题设级数收敛.
从而
由p=2＞1可知，题设级数收敛.(www.xing528.com)
下面介绍几个新的级数敛散性的判别法，其相较于比较判别法更加简便，因为其不需要找一个已知的级数来作比较，只需利用级数本身的特点来判别级数的敛散性.
（1）当ρ＜1时，级数收敛；
（2）当ρ＞1（或ρ=+∞）时，级数发散；
（3）当ρ=1时，本判别法失效.
证明 当ρ为有限数时，对任意的ε＞0，存在N＞0.当n＞N时，有
即
（1）当ρ＜1时，取0＜ε＜1-ρ，使r=ρ+ε＜1，则有
例7 判别下列级数的敛散性：
（1）当ρ＜1时，级数收敛；
（2）当ρ＞1（包括ρ=+∞）时，级数发散；
（3）当ρ=1时，本判别法失效.
由根值判别法可知，此级数发散.
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