微积分：平面物质薄片重心

设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）处，质量分别为m1，m2，…，mn.由力学知识可知，该质点系的重心坐标为

分别为该质点系对y轴和x轴的静矩.

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度为ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续，现求该薄片的重心坐标.

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（其面积也记为dσ），并在dσ内任取一点（x，y）.由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，因此，薄片中相应于dσ的部分的质量可近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看成集中在点（x，y）上.于是，可写出静矩元素dMy和dMx为

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

又因为平面薄片的质量为

所以薄片的重心坐标为

特别地，如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则

例4　一平面薄片占有xOy平面上的由曲线x=y2和直线x=4所围成的区域D.设薄片在点（x，y）处的面密度与该点到y轴的距离成正比，求薄片的重心.

图9-37

解　D的图形如图9-37所示.(www.xing528.com)

面密度ρ（x，y）=kx，薄片的质量

静力矩Mx=0（因ρy=kxy是y的奇函数，D关于x轴对称），且

于是

例5　求位于两圆x2+y2=2y和x2+y2=4y之间的均匀薄片的重心，如图9-38所示.

图9-38

从而有

因此