计算曲面S面积A的方法与图示

设空间曲面Σ的方程为z=f（x，y），S是曲面Σ的一部分，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y），计算曲面S的面积A.

下面结合定积分“以曲代直”的近似思想，采用分割、求和、取极限的思路，通过二重积分计算曲面S的面积.

图9-34

在投影区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（其面积也记为dσ）.在dσ内任取一点P（x，y），对应的曲面S上有一点M[x，y，f（x，y）]，点M在xOy面上的投影为点P.记点M处曲面S的切平面为T（见图9-34）.以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面.由于dσ的直径很小，因此，曲面上那一小片曲面的面积可由对应的那一小片平面的面积dA近似代替.曲面S在点M处的法向量（指向朝上的那个）为

它与z轴正向所成夹角γ的方向余弦为

而

所以

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得

上式也可写为

这就是计算曲面面积的计算公式.

类似地，曲面方程为x=g（y，z）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到yOz面上（投影区域为Dyz）或zOx面上（投影区域为Dzx），可得(www.xing528.com)

例2　计算抛物面z=x2+y2在平面z=1下方部分的面积.

图9-35

例3　设有一颗地球同步轨道卫星，距地面的高

度为h=36 000 km，运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通信卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6 400 km）.

图9-36

解　取地心为坐标原点，地心到通信卫星中心的连线为z轴，建立坐标系，如图9-36所示.

通信卫星覆盖的曲面S是上半球面被半顶角为α的圆锥面所截得的部分，其方程为

利用极坐标变换，得