微积分下册：一般区域上二重积分的计算方法

如果积分区域D既不是X型区域又不是Y型区域的，对这种情形，通常可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或Y型区域.例如，在图9-9中，把D分成3部分，它们都是X型区域，利用式（9-3）可求出各部分上的二重积分，再利用二重积分的区域可加性，将这些小区域上的二重积分的计算结果相加，就可得到整个区域D上的二重积分.

如果积分区域D既是X型区域，可用不等式

表示，又是Y型区域，可用不等式

表示（见图9-10），则有

图9-9

图9-10

图9-11

注　将二重积分化为二次积分时，关键是确定两个定积分的上下限.积分限是根据积分区域来确定的.首先画出积分区域D的图形，假如积分区域D为X型区域（见图9-11），在区间[a，b]上任意取定一个x值，积分区域上以这个值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上的点的纵坐标从φ1（x）变到φ2（x），这就是式（9-3）中先把x看成常量而对y积分时的下限和上限.因为上面的x值是在[a，b]上任意取定的，所以再把x看成变量而对x积分时，积分区间就是[a，b].

下面通过实例具体说明二重积分的计算.

解　方法1：画出积分区域D（见图9-12）.若将区域D视为X型区域，则

方法2：若将区域D视为Y型区域（见图9-13），则

图9-12

图9-13

图9-14

注　若将区域D视为Y型区域，则有

其中，关于x的积分计算比较麻烦，故选择先y后x的积分顺序.

解　画出积分区域D（见图9-15），易知D既是X型区域，又是Y型区域.若将D视为Y型区域，则

若将D视为X型区域，则积分区域D需分成D1和D2两部分（见图9-16），其中

图9-15

图9-16

因此有

　注　本题用X型区域计算，需要对积分区域进行分割，增加了计算量.(www.xing528.com)

上述几个例子说明，化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的积分次序.此时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性.

分析　对此类含有绝对值的二重积分，与一元函数的定积分类似，先要根据区域的特性去掉被积函数的绝对值符号.

解　画出积分区域D（见图9-17），将区域D分成D1和D2两块X型区域，其中

于是有

图9-17

图9-18

分析　直接按照这个积分顺序是计算不出来的，因为∫e-y2dy的原函数不能用初等函数表示.可考虑将这个积分换成另一种二次积分来计算.

于是，有

注　由上例可知，计算二次积分时，有时需要改变二次积分的积分次序，若不交换次序可能难以计算出结果.例5的方法称为交换积分次序.一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤如下：

（1）由所给定的二次积分的上下限写出表示积分区域D的不等式组；

（2）根据不等式组画出积分区域D的草图；

（3）确定新的二次积分的上下限；

（4）写出新的二次积分.

例7　交换二次积分

的积分次序.

解　根据二次积分，画出积分区域D=D1∪D2的图形（见图9-20），其中

图9-19

图9-20

证明　根据等式左端二次积分的积分限

画出积分区域D的图形（见图9-21），交换这个二次积分的积分次序，重新确定积分区域D的积分限

于是有

图9-21