微积分下册：计算X型区域上的二重积分

设xOy平面上的有界闭区域D可表示为

其中，函数φ1（x），φ2（x）在区间[a，b]上连续，则称D为X型区域（见图9-6）.

图9-6

X型区域的特点是：穿过D内部且垂直于x轴（或平行于y轴）的直线与D的边界相交不多于两个交点.

下面借助几何直观地导出将二重积分转化为二次定积分的方法.

设区域，若f（x，y）≥0且在D上连续，根据二重积分的几何意义可知，等于以D为底、以曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体（见图9-7）的体积.

下面应用第5章中计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来计算曲顶柱体的体积.

在区间[a，b]上任意取定一点x0，过该点作平行于yOz面的平面x=x0.此平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[φ1（x0），φ2（x0）]为底，曲边是曲线z=f（x0，y）的曲边梯形（见图9-7中的阴影部分），此截面的面积A（x0）可用定积分计算为

图9-7

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一般的，过区间[a，b]上任意一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

于是，曲顶柱体的体积为

从而得到等式

式（9-2）右端的积分称为先对y后对x的二次积分.就是说，先把x看成常数，把f（x，y）只看成y的函数，并对y计算在区间[φ1（x），φ2（x）]上的定积分.然后把算得的结果（不含y，是x的函数）再对x计算在区间[a，b]上的定积分.习惯上，常将式（9-2）右端的积分记作

式（9-3）就是把二重积分化为先对y后对x的二次积分公式.

注　上述讨论中，假定f（x，y）≥0，但实际上式（9-3）的成立并不受此条件的限制.