微积分（下册）：二重积分性质

对比定积分与二重积分的定义可知，这两种积分是同一类型的和式的极限，因此，二重积分与定积分具有完全类似的性质，叙述如下：

性质1　如果函数f（x，y）和g（x，y）在闭区域D上可积，则对任意的常数α，β，函数αf（x，y）+βg（x，y）也在D上可积，且有

这一性质称为二重积分的线性性质.

性质2　设闭区域D可分成两个没有公共内点的闭区域D1和D2，f（x，y）在D1和D2上都可积，则f（x，y）在D上可积，且有

这一性质表明二重积分对积分区域具有可加性.

性质3　如果在闭区域D上，f（x，y）≡1，σ为D的面积，则

　性质3的几何意义很明显，高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质4　如果在闭区域D上f（x，y）≤g（x，y），则

以上不等式也称二重积分的单调性.特别地，由于

有

性质5（估值定理）　设M，m分别为函数f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则

证明　因为m≤f（x，y）≤M，所以由性质4，有

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再应用性质1和性质3，便得此估计不等式.

性质6（二重积分的中值定理）　设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

证明　显然σ≠0.把性质5的不等式两端同时除以σ，则

上式两端各乘以σ，便得到所需要证明的公式.

注　二重积分的中值定理表明在闭区域D上以曲面f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积，等于以区域D内某一点（ξ，η）的函数值f（ξ，η）为高的平顶柱体的体积.

解　研究x+y在D上的取值，如图9-5所示.

由于点（1，0）在圆周（x-2）2+（y-1）2=2上，且过该点的切线方程为

因此，在D上处处有x+y≥1，故在D上有

从而有

图9-5