微积分下册讲解空间曲线的切线与法平面

（1）设空间曲线Γ的参数方程为

这里假定x（t），y（t），z（t）都可导，且导数不全为零.

在曲线Γ上取对应于参数t=t0的一点M0（x0，y0，z0）及对应于参数t=t0+Δt的邻近一点M（x0+Δx，y0+Δy，z0+Δz）.作曲线的割线MM0，其方程为

当点M沿着Γ趋于点M0时，割线MM0的极限位置M0T就是曲线在点M0处的切线（见图8-23）.用Δt除上式的各分母，得

图8-23

当M→M0，即Δt→0时，对上式取极限，即得到曲线Γ在点M0处的切线方程

曲线的切向量：曲线在某点处的切线的方向向量，称为曲线的切向量.向量

就是曲线Γ在点M0处的一个切向量.

法平面：过点M0且与切线垂直的平面，称为曲线Γ在点M0处的法平面.曲线的切向量就是法平面的法向量.于是，该法平面方程为

例1　求曲线x=t，y=t2，z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

解　因为x′t=1，y′t=2t，z′t=3t2，而点（1，1，1）所对应的参数t=1，所以曲线在t=1处的切向量

于是，切线方程为

法平面方程为

即

（2）如果空间曲线Γ的方程为

则可取x为参数，将方程组（8-26）写为参数方程的形式

如果函数y（x），z（x）在x=x0处可导，则曲线Γ在点x=x0处的切向量T=（1，y′（x0），z′（x0）），因此，曲线Γ在点M（x0，y0，z0）处的切线方程为

法平面方程为

（3）如果空间曲线Γ的方程为

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且F，G具有连续的偏导数，则方程组（8-27）隐含唯一确定的函数组y=y（x），z=z（x），且

故曲线Γ的切向量为

从而曲线Γ在点M0（x0，y0，z0）处的切向量可取为

由

所以

图8-24

即题设曲线在（1，1，3）处的切向量可取为

从而所求的切线方程为

法平面方程为

即

例3　求曲线x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程.

解　将所给方程的两边对x求导数，得

方程组在点（1，-2，1）处化为

解方程组得

因此，曲线在点（1，-2，1）处的切向量为T=（1，0，-1），故所求切线方程为

法平面方程为

即