微积分（下册）：条件极值与拉格朗日乘数法的应用

前面所讨论的极值问题，对函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其他限制条件，这类极值称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.

例如，求表面积为a2而体积最大的长方体的体积问题.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则体积V=xyz.因为长方体的表面积是定值a2，所以自变量x，y，z还须满足附加条件2（xy+yz+xz）=a2.像这样对自变量有附加条件的极值称为条件极值.对有些实际问题，可把条件极值问题化为无条件极值问题.

　拉格朗日乘数法

在所给条件

下，求目标函数

的极值.

设f和G具有连续的偏导数，且Gz≠0.由隐函数存在定理，方程G（x，y，z）=0确定一个隐函数z=z（x，y），且它的偏导数为

于是，所求条件极值问题可化为求函数

的无条件极值问题.前面已说过，要从方程G（x，y，z）=0解出z来，往往是困难的，这时就可用下面介绍的拉格朗日乘数法.

设（x0，y0）为方程u=f[x，y，z（x，y）]的极值点，z0=z（x0，y0），由必要条件可知，极值点（x0，y0）必须满足条件

应用复合函数求导法则以及式（8-21），得

即所求问题的解（x0，y0，z0）必须满足关系式

若将上式的公共比值记为-λ，则（x0，y0，z0）必须满足

因此，（x0，y0，z0）除了应满足约束条件G（x，y，z）=0外，还应满足方程组（8-22）.换句话说，函数u=f（x，y，z）在约束条件G（x，y，z）=0下的极值点（x0，y0，z0）是下列方程组

的解.容易看到，式（8-23）恰好是4个独立变量x，y，z，λ的函数

取到极值的必要条件.这里引进的函数L（x，y，z，λ）称为拉格朗日函数，它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.通过解方程组（8-23），得x，y，z，λ，然后再研究相应的（x，y，z）是否真是问题的极值点.这种方法，即所谓拉格朗日乘数法.

注　拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此，按照这种方法求出来的点是否是极值，还需要加以讨论.不过，在实际问题中，往往可根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.

拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例如，求函数u=f（x，y，z，t）在条件φ（x，y，z，t）=0，ψ（x，y，z，t）=0下的极值.可构造拉格朗日函数

L（x，y，z，t，λ，μ）=f（x，y，z，t）+λφ（x，y，z，t）+μψ（x，y，z，t）.

其中，λ，μ均为常数.由L（x，y，z，t，λ，μ）关于变量x，y，z，t的偏导数为零的方程组，并联立条件中的两个方程解出x，y，z，t，即得所求条件极值的可能极值点.

例7　求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

解　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则题设问题归结为在约束条件(www.xing528.com)

下，求函数V=xyz（x＞0，y＞0，z＞0）的最大值.

构造拉格朗日函数

求其对x，y，z，λ的偏导数，并使之为零，得到方程组

解得

例8　求函数u=xyz在附加条件

下的极值.

解　构造拉格朗日函数

令

注意到以上3个方程左端的第一项都是3个变量x，y，z中某两个变量的乘积，将各方程两端同乘以相应缺少的那个变量，使各方程左端的第一项都成为xyz，然后将所得的3个方程左右两边相加，得

把式（8-24）代入上式，得

再把这个结果分别代入（8-25）中各式，得

由此得到点（3a，3a，3a）是函数u=xyz在条件（8-24）下唯一可能的极值点.把条件（8-24）确定的隐函数记作z=z（x，y），将目标函数看成u=xyz（x，y）=F（x，y），再应用二元函数极值的充分条件判断可知，点（3a，3a，3a）是函数u=xyz在条件（8-24）下的极小值点.因此，目标函数u=xyz在条件（8-24）下在点（3a，3a，3a）处取得极小值27a3.

下面的问题涉及经济学中的一个最优价格的模型.

在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格，才能获得最大利润.这个价格称为最优价格.下面的例题就是讨论怎样确定广告费用的分配问题.

例9　设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用x，y（单位：万元）之间的关系为

利润额相当于1/5的销售收入，并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大.

解　设利润为L，有

约束条件为x+y=25.这是条件极值问题，令

从方程组

的前两个方程得

又y=25-x，解得x=15，y=10.根据问题本身的意义及驻点的唯一性可知，当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大.