在一元微分学中，曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程F（x，y）=0来求它所确定的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则，建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.
将y=f（x）代入F（x，y）=0，得恒等式
利用复合求导法则在上述方程两端对x求导，得
由于Fy连续，且Fy（x0，y0）≠0，因此，存在（x0，y0）的一个邻域，在这个邻域内Fy≠0，于是得
整理可得以下定理：
隐函数存在定理1：
设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）=0在点P（x0，y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f（x），它满足条件y0=f（x0），并有
将式（8.17）两端视为x的函数，继续利用复合求导法则在上式两边求导，可求得隐函数的二阶导数
例1 验证方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数，且当x=0时，y=1的隐函数为y=f（x），求该函数的一阶和二阶导数在x=0的值.
解 设F（x，y）=x2+y2-1，则
因此，由定理1可知，方程x2+y2-1=0在点（0，1）的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数且当x=0时，y=1的隐函数为y=f（x）.
下面再求该函数的一阶和二阶导数，即
隐函数存在定理还可推广到多元函数.一个二元方程F（x，y）=0可确定一个一元隐函数，一个三元方程F（x，y，z）=0可确定一个二元隐函数.
隐函数存在定理2：
设函数F（x，y，z）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（x0，y0，z0）=0，Fz（x0，y0，z0）≠0，则方程F（x，y，z）=0在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f（x，y），它满足条件z0=f（x0，y0），并有
证明 将z=f（x，y）代入F（x，y，z），得
利用复合求导法则，在上式两端分别对x和y求导，得
因为Fz连续，且Fz（x0，y0，z0）≠0，所以存在点（x0，y0，z0）的一个邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
例2 设x2+y2+z2-4z=0，求
解 设F（x，y，z）=x2+y2+z2-4z，则(www.xing528.com)
利用隐函数存在定理2，得
注 在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套用公式，尤其是方程中含有抽象函数时，利用求偏导数或求微分的过程进行推导更为清楚.
例3 设z=f（x+y+z，xyz），求
解 令u=x+y+z，v=xyz，则
把z看成x，y的函数对x求偏导数，得
所以
把x看成z，y的函数对y求偏导数，得
所以
把y看成x，z的函数对z求偏导数，得
所以
例4 设F（x-y，y-z，z-x）=0，其中F具有连续偏导数，且F′2-F′3≠0.求证：
解 由题意知方程确定函数z=z（x，y）.在题设方程两边求微分，得
即有
根据微分运算，得
合并同类项，得
两边同除以F′2-F′3，得
从而
于是
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