【摘要】：定理3如果函数u=φ（x，y）在点（x，y）处具有对x及对y的偏导数，函数v=ψ（y）在点y处可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（x，y），ψ（y）]在点（x，y）处的两个偏导数存在，且有在第三种情形中，一种常见的情况是：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情形.例如，设函数z=f（u，x，y），u=φ（x，y）构成复合函数z=f[φ（
定理3 如果函数u=φ（x，y）在点（x，y）处具有对x及对y的偏导数，函数v=ψ（y）在点y处可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（x，y），ψ（y）]在点（x，y）处的两个偏导数存在，且有
在第三种情形中，一种常见的情况是：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情形.
例如，设函数z=f（u，x，y），u=φ（x，y）构成复合函数z=f[φ（x，y），x，y]，其变量间的相互依赖关系如图8-19所示，则此类情形可视为第二种情形式（8-11）和式（8-12）中v=x，w=y的情况.从而有
图8-19
例3 设z=uv+sin t，而u=et，v=cos t，求全导数
解
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例4 设z=xy+u，u=φ（x，y），求
解
其中，下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数.同理，有f″11，f″22等.
例5 设w=f（x+y+z，xyz），f具有二阶连续偏导数，求
及
解 令u=x+y+z，v=xyz，则w=f（u，v），根据复合求导法则，有
注
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