微积分下册：全微分及应用

由偏导数的定义可知，二元函数对某个自变量的偏导数，表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

上面两式左端分别称为二元函数对x和y的偏增量，右端分别称为二元函数对x和y的偏微分.

在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题.下面以二元函数为例进行讨论.

如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某邻域内有定义，并设P′（x+Δx，y+Δy）为该邻域内的任意一点，则称f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）为函数在点P处对应于自变量增量Δx，Δy的全增量，记为Δz，即

一般来说，计算全增量较复杂.与一元函数的情形类似，可利用关于自变量增量Δx，Δy的线性函数来近似代替函数的全增量Δz，由此引入二元函数全微分的定义.

定义1　如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量

可表示为

其中，A，B不依赖于Δx，Δy，而仅与x，y有关，则称函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，称AΔx+BΔy为函数z=（x，y）在点（x，y）处的全微分，记作dz，即

如果函数在区域D内各点处都可微分，则称这函数在D内可微分.

在一元函数微分学中，可微一定可导，可导一定连续，但在多元函数中可微与连续的关系为：可微必连续.

事实上，如果z=f（x，y）在点（x，y）可微，则

于是

因此，函数z=f（x，y）在点（x，y）处连续.

下面根据全微分与偏导数的定义来讨论函数在一点可微分的条件.

证明　设函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微分.于是，对点P的某个邻域内的任意一点P′（x+Δx，y+Δy），恒有Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）成立.特别地，当Δy=0时，有

上式两边除以Δx，令Δy→0并取极限，就得

因此，定理1得证.

在点（0，0）处虽然有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，即f（x，y）在点（0，0）处的两个偏导数存在且相等.但函数在（0，0）处不可微分，即Δz-[fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δy]不是较ρ的高阶无穷小.这是因当（Δx，Δy）沿直线y=x趋于（0，0）时，有

因此，函数在（0，0）是不可微分的.

由此可知，对于多元函数而言，偏导数存在不一定可微.因函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可保证函数的可微性.

一般地，则有：

证明　函数的全增量　

对上面两个中括号内的表达式，分别应用拉格朗日中值定理，有

其中，0＜θ1，θ2＜1.根据题设条件，fx（x，y）在点（x，y）处连续，故

从而有

其中，ε1为Δx，Δy的函数，且当Δx→0，Δy→0时，ε1→0.同理，有

其中，ε2为Δy的函数，且当Δy→0时，ε2→0，于是

而

习惯上，常将自变量的增量Δx，Δy分别记作dx，dy，并分别称为自变量的微分，则函数z=f（x，y）的全微分可写作

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和，称二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于三元及三元以上的函数.例如，函数u=f（x，y，z）的全微分为(www.xing528.com)

例1　计算函数z=x2y+y2的全微分.

解　因为

所以

例2　计算函数的全微分.

解　因为

所以

例3　计算函数z=exy在点（2，1）处的全微分.

解　因为

从而所求全微分

全微分在近似计算中的应用：

与一元函数的线性化类似，也可研究二元函数的线性化近似问题.从前面的讨论可知，当函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，且都较小时，由全微分的定义，有

即

如果从点（x0，y0）移动到某邻近点（x，y）所产生的增量为Δx=x-x0，Δy=y-y0（见图8-13），则有

即

图8-13

若记上式右端的线性函数为

其图形为通过点（x0，y0）处的一个平面，此即所谓曲面z=f（x，y）在点（x0，y0）处的切平面.

定义2　如果函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，那么函数

称为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的线性化.近似式

称为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的标准线性近似.

图8-14

从几何上看，二元函数线性化的实质就是曲面上某点邻近的一小块曲面被相应的一小块切平面近似代替（见图8-14）.

可利用上述近似等式对二元函数作近似计算.

例4　计算（1.04）2.02的近似值.

解　设函数f（x，y）=xy.显然，要计算的值就是函数在x=1.04，y=2.02时的函数值f（1.04，2.02）.取x0=1，y0=2，Δx=0.04，Δy=0.02.由于

可得到函数xy在点（1，2）处的线性化为

因此

例5　有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20 cm增大到20.05 cm，高度由100 cm减少到99 cm.求此圆柱体体积变化的近似值.

　解　设圆柱体的半径、高和体积依次为r，h和V，则有

已知r=20，h=100，Δr=0.05，Δh=-1.根据近似公式，有

即此圆柱体在受压后体积约减少200πcm3.