定义3 设二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内有定义，如果
则称函数f（x，y）在点P（x0，y0）处连续.
如果函数f（x，y）在区域D内每一点都连续，则称函数f（x，y）在区域D内连续，或称f（x，y）是D上的连续函数.在区域D上连续的二元函数的图形是区域D上的一张连续曲面.
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f（P）上.
例9 设f（x，y）=sin x，证明f（x，y）是R2上的连续函数.
即对任意的P（x0，y0）∈R2.因为
所以函数f（x，y）=sin x在点P（x0，y0）连续.由P0的任意性可知，sin x作为x，y的二元函数在R2上连续.
由类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.
定义4 设二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内有定义，如果函数f（x，y）在点P（x0，y0）处不连续，则称函数f（x，y）在点P（x0，y0）处间断，P（x0，y0）称为间断点.
例如，函数
注 间断点可能是孤立点，也可能是曲线上的点.
可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.(www.xing528.com)
与一元初等函数类似，由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数，经过有限次的四则运算和复合运算所构成的，可用一个式子所表示的二元函数，称为二元初等函数.
例如，，ex2+y2+z2都是多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域.
P0（1，2）为D的内点，则f（x，y）在点P0（1，2）处连续.因此
特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.
定理1（最值定理） 有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上能取得它的最大值和最小值.
定理1就是说，若f（P）在有界闭区域D上连续，使得对一切P∈D，必存在P1∈D，P2∈D.使得
定理2（有界性定理） 有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.
定理2就是说，若f（P）在有界闭区域D上连续，则必定存在常数M＞0，使得对一切P∈D，有
定理3（介值定理） 有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.
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