【摘要】：与一元函数的极限概念类似，如果在P（x，y）→P0（x0，y0）的过程中，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限.定义2设二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某一去心邻域D内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对满足不等式的一切点P（x，y）∈D恒有成立，则称常数A为函数f（x，y）当P（x，y）→
与一元函数的极限概念类似，如果在P（x，y）→P0（x0，y0）的过程中，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限.
定义2 设二元函数z=f（x，y）在点P（x0，y0）的某一去心邻域D内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对满足不等式
的一切点P（x，y）∈D恒有
成立，则称常数A为函数f（x，y）当P（x，y）→P0（x0，y0）时的极限.记为
也记作
为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限也称二重极限.
例6 求极限
解 令u=x2+y2，则
图8-11
必须注意：(www.xing528.com)
（1）二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时（见图8-11），函数都无限接近于A.
（2）如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.
证明 当点P（x，y）沿x轴趋于点（0，0）时
当点P（x，y）沿y轴趋于点（0，0）时
当点P（x，y）沿直线y=kx有
易知，题设极限的值随k的变化而变化，故函数f（x，y）在（0，0）处极限不存在.
二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，但洛必达法则不能延用.
例8 求
解
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