微积分（下册）：直线在平面上的投影方程

图7-24

空间曲线l向平面π上投影，则以曲线l为准线作母线垂直于平面π的柱面，称为投影柱面.投影柱面与平面π的交线，称为曲线l在平面π上的投影曲线，如图7-24所示.

例8　求直线在平面π：x-y+z-4=0上的投影直线方程.

解　准线为直线的柱面为平面，只需过直线l作垂直于平面π的平面，即为投影柱面.过直线l的平面束方程为

即

因为所求平面与已知平面π垂直，则两平面的法向量垂直，所以

即1+2λ-2+3λ-1=0，解得，代入平面束方程得过直线l垂直于平面π的平面方程为

整理得

于是，所求投影直线方程为

例8只是直线在平面上投影的一个例子，而一般空间曲线在平面上的投影复杂得多.下面介绍工程技术上以及多元函数积分学中常用的空间曲线在坐标面上的投影.

工程制图中，把曲线在xOy面上的投影，称为俯视图；在yOz面上的投影，称为正视图；在zOx面上的投影，称为侧视图.工程制图需要精确描绘出投影曲线的图像，而在空间解析几何中不要求精确作图，只需作投影曲线的草图，但要求写出准确的投影曲线方程.

设空间曲线l的一般方程为

如果方程组中消去变量z得到方程

称为母线平行于z轴的柱面方程.显然，曲线在此柱面上，故称曲线l向xOy面上投影的投影柱面，又称母线平行于z轴的投影柱面.

曲线方程

称为曲线l在xOy面上的投影曲线方程.

同理，可求出空间曲线在其他坐标面上的投影曲线.如果在空间曲线l的方程组中消去变量y得到方程

则称为母线平行于y轴的投影柱面.曲线方程

称为曲线l在zOx面上的投影曲线方程.

如果在空间曲线l的方程组中消去变量x得到方程

则称为母线平行于x轴的投影柱面.曲线方程(https://www.xing528.com)

称为曲线l在yOz面上的投影曲线方程.

例9　求圆锥面x2+y2-z2=0分别与平面π1：y=2，π2：y+z=1，π3：y+4z=1的交线在zOx面上的投影曲线方程.

解　（1）交线方程为

消去变量y得母线平行于y轴的投影柱面方程为

为双曲柱面.在zOx面上的投影曲线方程为

（2）交线方程为

消去变量y得母线平行于y轴的投影柱面方程为

为抛物柱面.在zOx面上的投影曲线方程为

（3）交线方程为

消去变量y得母线平行于y轴的投影柱面方程为

为椭圆柱面.在zOx面上的投影曲线方程为

图7-25

解　半球面与锥面交线方程为

消去z得母线平行于z轴的投影柱面方程为

为圆柱面.在xOy面上的投影曲线方程为

即xOy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆.立体在xOy平面上的投影为圆所围成的部分，即

空间立体在坐标面上的投影区域，是后面学习计算重积分所必须掌握的知识.因此，曲线在坐标面上的投影也是本章重点要了解的内容.