设
点M1（x1，y1，z1）在直线l上，点M2（x2，y2，z2）在平面π上，则有以下结论：
（2）直线l与平面π垂直⇔s∥n；
（3）直线l与平面π相交⇔s·n≠0；
解 两直线的方向向量分别为s1=（1，-4，1）与s2=（2，-2，-1）.设两直线的夹角为φ，则
所以
例9 求平面π1：x-y+2z-6=0和π2：2x+y+z-5=0的夹角.
解 因为法向量分别为
所以
则所求夹角为
例10 求通过两点M1（1，1，1）和M2（0，1，-1）且垂直于平面x+y+z=0的平面方程.
解 方法1：已知从点M1到点M2的向量为
，平面x+y+z=0的法向量为n2=（1，1，1）.设所求平面的法向量为n=（A，B，C）.因为点M1（1，1，1）和M2（0，1，-1）在所求平面上，所以n⊥n1，得-A-2C=0，即
又因为所求平面垂直于平面x+y+z=0，所以n⊥n2，得A+B+C=0，又A=-2C，所以B=C.(www.xing528.com)
于是，由点法式方程得所求平面为
即
方法2：已知从点M1到点M2的向量为n1=（-1，0，-2），平面x+y+z=0的法向量为n2=（1，1，1）.设所求平面的法向量为n=（A，B，C），则有
所求平面方程为2（x-1）-（y-1）-（z-1）=0，即
和
称为过直线l的平面束方程.其中，λ取不同值时，表示过直线l的不同平面，在解决某些问题时用平面束方程较为方便.
例11 求过直线
且垂直于平面π：2x-y+2z=0的平面方程.
解 过直线l的平面束方程为x+y-z+1+λ（y+z）=0，即
因为所求平面与已知平面π垂直，则两平面的法向量垂直，所以
即2-（1+λ）+2（λ-1）=0，解得λ=1，代入平面束方程得所求平面方程为
x+2y+1=0.
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