求过三点的平面方程及法向量

图7-13

所以得到平面方程为

式（7-11）称为平面的点法式方程，向量n称为此平面的法向量.显然，与n平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量.

例1　求过点（2，-3，0）且以n=（1，-2，3）为法向量的平面的方程.

解　根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为

即x-2y+3z-8=0.

例2　已知不在同一直线上的3点M1（2，-1，4），M2（-1，3，-2）和M3（0，2，3），求过这3点的平面方程.

所以

根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为

即

根据行列式的展开式，得过不在同一直线上3点的平面方程可写为

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式（7-12）称为平面的三点式方程.

例3　若例2中的3点分别为A（a，0，0），B（0，b，0）和C（0，0，c），即已知平面与三坐标轴的交点，a，b，c称为平面在三坐标轴的截距.此时，平面方程为

整理后，得

式（7-13）称为平面的截距式方程.

平面的一般式方程为

特殊情况：

若D=0，则平面过原点；

若A=0，或B=0，或C=0，则平面分别平行于x轴、y轴、z轴；

若A=D=0，或B=D=0，或C=D=0，则平面分别过x轴、y轴、z轴.

例4　已知平面的一般式方程为2x+y+z-6=0，求平面的点法式方程和截距式方程.

解　因为2x+y+z-6=2（x-1）+（y-2）+（z-2），所以点法式方程为

由此可知，在平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0中，x，y，z的系数所构成的向量n=（A，B，C）即为平面的法向量.

又因2x+y+z=6，则可得平面的截距式方程为

其中，3，6，6分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距.