初等代数中的数轴与平面解析几何中的坐标系

初等代数中的数轴使直线上的点与实数建立了一一对应的关系，平面解析几何中的直角坐标系与极坐标系使平面上的点与二元有序数组一一对应.

为了确定空间中的一点在一定参考系中的位置，按规定的方法选取的有序数组（或一个数），称为点的坐标.这种规定坐标的方法，称为坐标系.

规定坐标的方法必须使每一个点的坐标是唯一的，不同的坐标表示不同的点.因此，能使点与有序数组（或数）一一对应便可构成坐标系，通常用网格法与向量法构成坐标系.网格法多用于几何空间.为了便于推广到抽象的n维空间，还需掌握向量法.

网格法　如在平面直角坐标系中x与y为任意实数时，分别表示相互垂直的两簇直线构成密布整个平面的网，平面上任意一点均是x与y为某实数所代表的两条直线的交点，使得二元有序数组（x，y）与平面上的点一一对应，称（x，y）为平面上点的坐标.

极坐标系是由极点O所引出的一簇射线及以O为圆心的一系列同心圆构成一张网覆盖整个平面，实数θ表示射线，非负数r表示圆，除r=0表示极点外，平面上其他的点均是某条射线与某个圆的交点.因此，可用二元有序数组（r，θ）确定点的位置，称为点的坐标.

地图上的经度、纬度组成球面上的坐标系统，经线与纬线构成覆盖整个球面的网，除南北极点外，球面上的点均是某条经线与某条纬线的交点.因此，可用经度与纬度确定球面上某点的位置.

向量法　在一条直线上，取一个非零向量e，则直线上任意一个向量a与e共线，所以存在实数x，使得a=xe.若把直线上的向量的起点均确定在一定点O（称为原点），这样给定一个实数x就确定一个向量.这个向量的终点也同时确定，因此数x称为向量的坐标，也称向量的终点坐标.如果向量e是单位向量，则此直线上点的坐标与数轴一致.

在平面上取一定点O（为原点），以点O为起点的两个不共线的向量e1和e2，则平面上任意一个向量a都存在唯一确定的有序数组（x1，x2），使得a=x1e1+x2e2.同样，把平面上的任意向量的起点均确定在点O，那么（x1，x2）确定向量终点的位置，所以（x1，x2）称为向量的终点坐标，也称向量a的坐标.如果向量e1，e2为相互垂直的单位向量，则称为平面上的正交系，也即平面直角坐标系.只需把（x1，x2）用（x，y）表示，那么便与平面直角坐标系一致.

上面对直线上和平面上的坐标系作了简要的介绍，并按其构成特征分为网格法和向量法.下面介绍空间直角坐标系.空间直角坐标系既可看成由向量法构成的坐标系，又可看成由网格法构成的坐标系.

首先在空间中取一定点O，作3个以点O为起点的两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了3条都以点O为原点的两两垂直的数轴Ox，Oy，Oz，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴，并依Ox，Oy，Oz的顺序按右手法则规定坐标轴的正向.这样，就由向量法建立了一个空间直角坐标系，如图7-10所示.显然，在x轴、y轴、z轴上点的坐标分别为（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）.

图7-10

图7-11

在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可确定一个平面，这种平面称为坐标面.其中，由x轴和y轴所确定的坐标面，称为xOy面，另两个坐标面分别是yOz面和zOx面.上述坐标面上点的坐标分别为（x，y，0），（0，y，z），（x，0，z）.

3个坐标面把空间分成8个部分，每一部分称为卦限，含有3个正半轴的卦限称为第一卦限，它位于xOy面的上方.如图7-11所示，在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.8个卦限分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ表示.(www.xing528.com)

即点M与原点O的距离.rM的单位向量为

设rM与i，j，k的夹角分别为α，β，γ，即与x轴、y轴、z轴正向的夹角，把它们称为rM的方向角，且

称为向量rM的方向余弦.显然，r0M=（cosα，cosβ，cosγ），即可用向量的方向余弦表示该向量（方向上）的单位向量.

例1　设向量a=（2，3，6），求a的单位向量与方向余弦.

图7-12

故方向余弦为

设空间直角坐标系下任意两点M1（x1，y1，z1）及M2（x2，y2，z2），如图7-12所示.由“三角形法则”及向量加法运算的坐标表示，可得向量M1M2→的坐标为