所谓逐差法,就是把测量数据中的因变量进行逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减,然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法。逐差法是实验中常用的一种数据处理方法,特别是当变量之间存在多项式关系,且自变量等间距变化时,这种方法更显现出它的优点和方便。
(1)逐差法的主要应用及特点
下面以一个例子来说明。
例1.8 用伏安法测电阻,所得数据见表1.5。
表1.5 伏安法测电阻数据表
表中Ii为电压等间距变化时的电流测量值。
解:逐项逐差Δ1I=Ii+1-Ii得表中第4行数据。通过逐项逐差,使原来在不同电压下测得的电流值变为在相同电压ΔU=2 V下多次测量的电流值,最佳估计值即算术平均值为
隔3项逐差得表中第5行数据。采用隔3项来处理,电压每次改变ΔU=6 V时电流改变值的算术平均值为
可以看出,逐项逐差值的算术平均值只与首尾两次测量值有关,其他值在运算过程中相互抵消,从而失去了多次测量的意义,因此逐项逐差不宜用来求未知量。而隔3项逐差则充分利用了所有数据,可大大降低随机误差对结果的影响。同样可以证明,隔2项逐差仍不能充分利用数据。因此,数据处理应按隔3项(即n/2项)逐差进行
由欧姆定律可得电阻,即
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还可以看出,逐项逐差结果Δ1I值趋于某一常数,这与I、U所遵循的线性关系有关。可以验证,如果变量之间为二次多项式形式,则在一次逐项逐差的基础上进行两次逐项逐差所得值也趋于某一常数,依次类推。因此,往往用逐项逐差来验证多项式的形式,即若一次逐项逐差值趋于某一常数,则说明变量间具有线性关系;若经两次逐项逐差值趋于某一常数,变量之间具有二次多项式形式,依次类推。
归纳上述讨论,逐差法主要可以用来验证多项式、通过计算线性函数的斜率求物理量。除此之外,还可以用逐差法来发现系统误差或实验数据的某些变化规律。
从例1.8中的数据处理过程可以看出,逐差法具有下列优点:
①充分利用了测量所得的数据,对数据具有取平均的效果。如例1.8中所有数据都参与了运算。
②可以消除一些定值系统误差,求得所需要的实验结果。如用电流表测量时,如果存在零点误差,进行了差值运算,结果就不受零点误差的影响。
(2)逐差法的应用条件
在具备以下两个条件时,可以用逐差法处理数据。
①函数为多项式形式,即
或经过变换可以写成以下形式的函数。如弹簧振子的周期公式
可以写成,
是m的线性函数。再如阻尼振动的振幅衰减公式A=A0e-βt,可以写成ln A=ln A0-βt,ln A是t的线性函数等。
实际上,由于测量精度的限制,3次以上逐差已很少应用。
②自变量x是等间距变化,即
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