有效数字与数字0的作用

有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数,由准确数字和可疑数字组成。(如果该数值绝对误差界是最末位数据的半个单位,那么从这个近似数左边第一个非零数字起到最后一位数字止,都叫有效数字。)

为了便于理解,举一例子加以说明。如图1.6所示,用最小刻度为1 mm的米尺测量一物体的长度,不同的测量者测得结果不同,可能为2.55 cm,2.56 cm,2.57 cm等。其中,前两位数是根据米尺的刻度准确读出的,不随观测者变化,是可靠的,称为准确数字,最后一位数是在两个刻度之间估计读出的,随观测者个人情况可能略有不同,显然是不准确的,称为可疑数字。尽管可疑数字不准确,但它能客观、合理地反映出该物体比2.5 cm长,比2.6 cm短的事实,是有效的。因此,测量结果的有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的。

图1.6　长度测量示意图

学习有效数字应注意以下几个问题:

1)有效数字与测量条件密切相关

从上面测量结果可以看出,测量结果的有效数字位数由测量条件和待测量的大小共同决定。对于大小已定的物理量,测量仪器的精度越高,有效数字位数越多,因此,有效数字可以在某种程度上反映出测量仪器的精度。例如,上述物体的长度,用米尺测量是3位有效数字,而采用1/50游标卡尺测量,可得4位有效数字,用螺旋测微计测量,可得5位有效数字;当测量条件一定时,待测量越大,有效数字位数越多。

2)数字“0”在有效数字中的作用

“0”在数据中的位置不同,可能是有效数字,也可能不是有效数字。例如,0.030 20 m这个数中共有4个“0”,其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置,不是有效数字,而其余两个“0”是有效数字,即数字中间和末尾的“0”是有效的。(www.xing528.com)

既然数字末尾的“0”是有效数字,那么就不能在数字的末尾随意加0或去掉0,否则物理意义将发生变化。要注意,一个物理量的测量值和数学上的一个数意义是不同的。数学上,0.030 2 m与0.030 20 m没有区别,但在物理上,0.030 2 m≠0.030 20 m,因为0.030 20 m中的“2”是准确测量出来的,是可靠的,而0.030 2 m中的“2”则是可疑数字,是不准确的。

由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置,不是有效数字,那么数字0.030 20 m、3.020 cm、30.20 mm的有效数字都是4位。因此,在十进制单位进行换算时,有效数字的位数不应发生变化。例如,3.5 A的电流值,若用mA单位表示,不能写成3 500 mA,而应采用科学记数法,写成3.5×103mA。

3)不确定度有效数字的确定

一般情况下,绝对不确定度只取1位有效数字,对重要的、比较精密的测量或其他特殊情况,可取2位或2位以上有效数字,相对不确定度可取1～2位。本书如无特殊说明,绝对不确定度取1位有效数字,相对不确定度取2位有效数字。

4)有效数字的确定

对于直接测量量有效数字的确定,实际上就是如何读数的问题。

由于测量结果的有效数字应是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的,因此,从测量仪器上读取数据时应注意完整性,即除了读取整刻度数值外,还应进行整刻度以下的估读。特别是读取的数据数值恰好为整数时,则需在后面补“0”,一直补到可疑位为止。例如,上述物体的末端恰好与刻度25 mm对齐时,则测量结果应记为2.50 cm,而不能写为2.5 cm。总之,直接测量读数的原则是:应读到仪器产生误差的那一位。

对于间接测量量有效数字的确定,原则上应遵循由不确定度来确定测量量的有效数字,即间接测量量有效数字的末位与不确定度的末位对齐。例如,为得到某一长方形面积S,直接测量其长度和宽度后,经计算得到S=3.850 25 cm2,绝对不确定度σS=0.02 cm2,则面积S的正确结果S=3.85 cm2。但在中间运算过程中,由于参与运算的量可能很多,有效数字的位数可能不一致,使得数据计算显得烦琐和复杂。