古琴弦纵向振动的声音分析与黄振丰合著

“丝桐合为琴，中有太古声。”[10]古琴音色的好与坏，除了琴器本身的构造，琴弦的影响亦很重要，琴弦的制造亦曾是历代不少琴家关心的问题。传统的琴弦用蚕丝制造，近年则发展出尼龙包钢弦（简称钢弦）。现时内地琴人主要使用钢弦，香港及台湾则有不少琴人坚持使用丝弦。钢弦丝弦两者各有优点和缺点，亦曾引起琴人之间的争论[11]。琴弦发声是物理现象，琴弦的构造及其发声的特性可以由物理学角度来探讨。本文作者之一、谢俊仁曾在十多年前发表过〈古琴音色与琴弦之纵向震动〉及〈古琴丝弦张力的比例〉两篇关于琴弦物理的文章[12]。本文将集中于琴弦纵向振动的问题，利用软件作声音分析，检讨过往的观点并作新的讨论。

钢弦金属噪音的问题

钢弦的声音较丝弦明亮，左手在钢弦上滑动时的摩擦噪音较少，但是，钢弦最大的缺点，是在某些琴和某些弦，会出现一个极高和特响的金属噪音。这金属噪音主要在弹奏空弦时出现，在强奏时更明显，有时候，亦会在弹奏按音时出现。这金属噪音令人感到刺耳，有点像敲铁的声音，影响了古琴纯和的音色及澹远的感觉。1999年，谢俊仁在〈古琴音色与琴弦之纵向震动〉一文内曾论述，这刺耳的金属噪音，应该与琴弦的纵向振动（longitudinal vibration）有关[13]。谢俊仁靠听觉仔细分析，得出以下的结论：

1. 调较琴弦的张力（tension）和基音（fundamental pitch），对这金属噪音的音高影响很小，只是加减小二度的变化。

2. 这金属噪音的音高却极接近用手指轻轻纵向摩擦琴弦所产生的音高，而后者与琴弦的张力没有关系。

3. 常用的北京钢弦，用于有效弦长118cm的大琴上，其一弦和二弦的纵向摩擦音的音高相若，比D6（d’’’）稍高；其金属噪音，不论琴弦的张力，均极接近这音高。其三至七弦的纵向摩擦音的音高亦相若，比F#6（f#’’’）稍高；其金属噪音，不论琴弦的张力，均极接近这音高。

4. 琴弦张力虽然与纵向摩擦音高无关，但会影响金属噪音的音量。有效弦长118cm的大琴，二弦如果调在D2，其空弦的金属噪音最响。如再向上调，当其基音的高4个八度音相比琴弦的纵向摩擦音稍高，其金属噪音会减弱。如果把琴弦由D2逐步调低，其金属噪音亦会减弱，直至接近C2时又强起来。

5. 右手手指触弦（弹奏）的位置亦影响金属噪音的音量。弦长118cm，二弦如调在标准音D2，如触弦在岳山起弦长1/8处（即一徽），金属噪音会稍弱；一弦如调在标准音C2，如触弦在岳山起弦长1/9处（即一徽稍右），金属噪音会稍弱。以上两情况，触弦处的泛音都是D5（d’’）[14]，即接近纵向摩擦音的低八度。

谢俊仁在文章指出，从参考资料所知，第2点所述的纵向摩擦琴弦的音高，应该是琴弦纵向振动所产生的。据参考资料[15]，纵向振动的频率与琴弦张力无关，但与琴弦长度成反比，并与琴弦密度的平方根成反比、弹性的平方根成正比。同一品牌的钢弦，其一弦和二弦的纵向摩擦音的音高相若，显示一二弦的构造类似，其密度和弹性相若；其三至七弦的纵向摩擦音的音高亦相若，显示三至七弦的构造类似，其密度和弹性相若。谢俊仁在文章猜想，琴弦的刺耳金属噪音，既然与纵向摩擦琴弦的音高相若，应该与琴弦的纵向振动有关。谢俊仁进一步猜想，当琴弦的一个高次谐音（高次倍音）接近纵向摩擦音的低八度，两者互相影响，引起共鸣，故其金属噪音较响。而当触弦处接近这高次谐音的音节，这高次谐音减弱[16]，减轻了对纵向振动音的影响，故其金属噪音较弱。

当时，谢俊仁未有物理数据支持其结论，亦未有理论资料支持其猜想。

近年学术文章的回顾

近年，外国的学术期刊开始有文章讨论这纵向振动在其他乐器（主要是钢琴）的情况。H. A. Conklin在1999年指出[17]，钢琴弦的纵向振动会发出横向振动本身没有的谐音，Conklin称之为“幻象谐音”（phantom partials）。这些“幻象谐音”的频率相等于某个横向振动谐音频率的两倍（2fn）、或两个横向振动谐音频率的总和（fm +fn），而后者主要是两个相连的横向振动谐音（fn+fn+1）。由于钢琴弦的刚性，会产生“偏差音”（inharmonicity），即琴弦产生的横向振动谐音频率偏离其基音频率的倍数，比后者稍高，故此，（2fn）和（fm +fn）与横向振动谐音频率并不完全相同，而在谐波分析图之中，会在横向振动谐音之间显现出来。

B. Bank及L. Sujbert在2005年的文章[18]，为Conklin的研究结果提出了物理和数学上的解释。撇开复杂的数学程序，文章所提供的资料，而一般人可以理解到的，包括：

1. “幻象谐音”是纵向振动的强迫反应（forced response），可以与纵向振动的自由反应（free response）同时产生。

2. 如果纵向振动的强迫反应（forced response）频率接近纵向振动的自由反应（free response）频率，可以产生共鸣而增大音量。

3. 纵向振动的自由反应（free response）减弱得很快，琴弦振动时明显听到的，是纵向振动的强迫反应（forced response）。

4. 如果强迫纵向振动（“幻象谐音”）的频率接近自由纵向振动首个振动模式（first mode）的频率，此“幻象谐音”主要产生自两个相连的横向振动谐音fn和fn+1。

5. 此研究除了对钢琴音响学有用之外，亦可以对其他弦乐器（例如吉他）的音响研究有帮助。理解纵向振动的来源，可以帮助弦乐器声音的计算机合成，以及如何改进钢琴或吉他的构造以改良音色。

其他相关的学术文章，包括：

1. H. A. Conklin 在1996年指出纵向振动对钢琴音色的影响[19]；

2. H. Penttinen 在2006年讨论了用计算机合成古琴声音时，需要考虑古琴的“幻象谐音”[20]；

3. Malashin 在2007年讨论了拉紧的柔软弦线的强迫纵向振动[21]；

4. Bank 在2010年讨论了钢琴纵向振动的“能听度”（audibility）[22]。

含金属噪音的钢弦空弦声音分析

为古琴金属噪音与纵向振动的关系提供实证，本文第二作者黄振丰测试了一张金属噪音较明显的钢弦琴[23]。所用软件是由Cornell Lab of Ornithology研发的 Raven Pro 1.4（http://www.birds.cornell.edu/brp/raven/Raven Overview.html），声音取样设备是Sony PCM—M10数码录音机，配合Takstar PCM—5550电容话筒并架置于琴面五徽前上方约50cm的位置；声音全部以f的力度用勾弹奏。所有用作分析的声音样本均为44 kHz取样率，并使用无压缩16位的方式储存。所取数据是从声音发出后0.3秒开始，采取0.3秒的数据[24]。音波经过Fast Fourier transformation（快速傅立叶变换）显示为谐波分析图。

以下是二弦调至D2时，和一弦调至接近C2时[25]，两者空弦声音的谐音分析[26]，弹奏处是岳山与一徽中间：

图1：二弦 （基音频率74Hz）

图2：一弦 (基音频率66.7Hz)

从两图可以看到，二弦的f17 （图1红圈处）和一弦的f19（图2红圈处）非常响亮，在所有谐音之中，其音量只响不过f7。两者频率是1262Hz及1269Hz，是D#6，与基音并不协和，这应该就是听到的金属噪音。

按图1和图2的数据，表列出f1至10的频率，再与理论的泛音频率比较，结果如下。

二弦为D2：

一弦接近C2：

由上两表可见，较低次的谐音极接近理论的泛音频率，即是说，古琴弦的“偏差音”（inharmonicity）很小。在图1和图2，要到f20 才明显看到波峰分离为二，即是“幻象谐音”与横向振动谐音分离。这即是说，纵向振动（2fn）和（fm +fn）与横向振动的谐音频率的差异，要到很高的频率才明显。故此，在这响亮的金属噪音f17和f19位置，纵向振动与横向振动谐音的频率主要是重叠的。这两弦的金属噪音是否与纵向振动有关，要看以下分析：

（a）金属噪音与该弦的自由纵向振动频率的关系；

（b）金属噪音与该弦基音的关系；

（c）金属噪音与右手触弦位置的关系。

自由纵向振动频率

纵向轻轻摩擦琴弦所产生的音高是琴弦的自由纵向振动，学术界有讨论纵向摩擦金属条发声的物理现象的文章[27]。此次测试的钢弦琴，一二弦的摩擦声接近D#6[28]，但由于音量非常细，此声音未能用软件分析。但是，把琴弦的轸转动少许时，琴弦会发出跟摩擦音相同音高的短音，这亦应该是琴弦的自由纵向振动声音。黄振丰测试了一弦和二弦如此发出的短音的频率，结果均是1271Hz，极接近图1和图2显示的金属噪音，这支持金属噪音主要来自纵向振动的猜想。

金属噪音与该弦基音的关系

根据Bank在2005年的文章，接近自由纵向振动首个振动模式频率的强迫纵向振动音，主要产生自两个相连的横向振动谐音fn和fn+1。据以上测试，基音为D2的二弦，其金属噪音频率是1262Hz，是D#6，接近该弦的自由纵向振动频率1271Hz，故此，如果二弦金属噪音主要来自纵向振动，便主要产生自两个相连的横向振动谐音fn和fn+1。参考表1，这相连的横向振动谐音是f8和f9，（f8+f9）即（593 + 667）Hz = 1260Hz，接近自由纵向振动频率和金属噪音频率。

黄振丰把二弦的基音续渐调低，再作测试，结果显示，当 （f8 +f9） 逐渐远离该弦的自由纵向振动频率时，金属噪音f17音高相应减低，音量亦续渐减低，而f15则增强。由于f15是响亮的f10（基音的三度音再高两个八度） 的五度，与弦的整体声音较协和，所以噪音感觉较轻。详情请看图3及图4：

图3（基音频率72Hz）

图4（基音频率70Hz）

但是，当琴弦调至接近C2时，金属噪音又响起来，详情请看图5及图6：

图5（基音频率68Hz）

图6（基音频率66.7Hz）

但这时，响亮的金属噪音是f19而不是f17，起初比D#6高，其频率在图5是1319Hz，即E6。当基音更接近C2时，这在图6是1271Hz，接近D#6，等同自由纵向振动频率，亦与二弦基音为D2时的金属噪音频率极接近。

图6的谐音频率（Hz）数据如下：

此时，（f8 +f9）已低至1134Hz，但是，（f9 +f10）则是1269Hz，极接近自由纵向振动频率和金属噪音f19的频率。

黄振丰再把琴弦的基音由D2续渐调高，当（f8 +f9）逐渐远离该弦的自由纵向振动频率时[29]，金属噪音f17音高相应增高，音量则续渐减弱，但f15则响起来，其频率极接近（f7 +f8）。当基音超过E2，响亮的f15在图9是1261Hz，接近自由纵向振动频率。由于f15是f10（基音的三度音再高两个八度）的五度，与弦的整体声音较协和，所以噪音感觉较轻。详情请看图7至图9：

图7（基音频率78Hz）

图8（基音频率81Hz）

图9（基音频率84Hz）

由此可见，如果有（fn +fn+1）接近自由纵向振动频率[30]，而这频率与基音不协和时，金属噪音最响，这金属噪音的音高极接近该（fn +fn+1）。此实验结果，支持金属噪音主要来自纵向振动的猜想。如果二弦基音为D2，空弦的金属噪音主要来自横向振动谐音f8和f9引发的纵向振动（f8 +f9），音高是D#6。如果二弦基音调至接近C2，空弦的金属噪音便主要来自横向振动谐音f9和f10引发的纵向振动（f9 +f10），音高亦是D#6。由此类推，如果一弦基音为C2，空弦的金属噪音主要来自横向振动谐音f9和f10引发的纵向振动（f9 +f10），音高亦是D#6。

金属噪音与右手触弦位置的关系

当右手手指弹奏的位置在某个横向振动谐音的音节，该谐音的振动会减少。故此，二弦基音为D2时，如果空弦的金属噪音主要来自横向振动谐音f8和f9引发的纵向振动（f8 +f9），当右手弹奏的位置在f8或f9的音节[31]，金属噪音应该会减弱。一弦的情况亦类似，当一弦调至C2，如果其金属噪音产生自横向振动谐音f9和f10，当右手弹奏的位置在f9或f10的音节[32]，金属噪音应该会减弱。相关的测试结果如下：

弹奏位置（a）是岳山和一徽中间

弹奏位置（b）是一徽稍右第一暗徽处

弹奏位置（c）是一徽

弹奏位置（d）是二徽

以一弦接近C2（66.7Hz）时的测试结果如下，为方便阅读，只显示f10至f20[33]：

以二弦为D2（74Hz）时的测试结果如下，为方便阅读，只显示f10至f20：

测试结果显示，空弦一弦f19的音量，弹奏在岳山与一徽中间（位置a）时最响，在一徽稍右（位置b）时最弱，在一徽（位置c）和二徽（位置d）时又响起来。空弦二弦f17的音量，弹奏在岳山与一徽中间（位置a）时最响，在一徽稍右（位置b）和一徽（位置c）时最弱，在二徽（位置d）时又响起来。这些结果，支持金属噪音主要来自纵向振动的猜想。

钢弦按音和三至七弦空弦的金属噪音

以上的测试集中于一二弦空弦的情况，按音和三至七弦空弦的纵向振动物理现象应该是类似的。由于自由纵向振动的频率跟弦长成反比，按音金属噪音的音高会跟随按音的位置而变化，右手触弦位置与金属噪音的关系亦跟随按音的位置而转变。至于三至七弦空弦，其金属噪音的情况视乎该弦的自由纵向振动频率和基音的关系。有关的详细情况，需要另行研究。

丝弦的纵向振动

纵向振动并不局限于钢弦，丝弦也有纵向振动的。靠听觉分辨，丝弦的自由纵向振动音比钢弦的低得多，故此，其与自由纵向振动音共鸣的强迫纵向振动音应该较低，与弦的整体声音较协和，所以一般来说，丝弦的金属噪音并不太明显。有关的详细情况，需要另行研究。

讨 论

有关钢弦金属噪音的问题，软件分析的结果，与谢俊仁1999年的文章所表述，靠听觉得出的结论配合，为谢俊仁的结论提供了实证。谢俊仁1999年猜想金属噪音主要来自纵向振动，经过理论分析，这是正确的。不过，谢俊仁进一步的猜想：“当琴弦的一个高次谐音接近纵向摩擦音的低八度，两者互相影响，引起共鸣，故其金属噪音较响”，便稍偏差了。实际的情况应该是，当琴弦两个相连的横向振动谐音的频率之和（fn+fn+1）接近自由纵向振动音（纵向摩擦音），引起共鸣，引发响亮的强迫纵向振动金属噪音。(www.xing528.com)

至于如何处理这金属噪音，谢俊仁在1999年的建议基本上适用。现再参考新的资料，提出以下建议：

1. 如果金属噪音太响，在接近该弦自由纵向振动音的低八度音的泛音音节位置弹奏，金属噪音可能会减弱。一般来说，钢弦一二弦空弦的金属噪音接近D#6，二弦在一徽或第一暗徽（一徽稍右）位置，即f8或f9音节位置弹奏，会较适合。一弦在第一暗徽或第二暗徽（一徽再稍右）位置，即f9或f10音节位置弹奏，会较适合。

2. 如果某一两条弦的金属噪音太响，而弹奏时没有需要跟随标准音高，可以把整套弦稍为调高或调低四分一至半个音，这一两条弦的金属噪音可能减弱；不过，另一些弦的金属噪音则可能因此而加强。所以，如何调较，需要考虑整体的情况。

3. 同一张琴，如果弦的音高稍有不同，其金属噪音的音量可能不同，进而影响琴人对该琴质素的评价。故此，衡量某张琴的质素时，需要留意调弦的音高对音色的影响。

4. 同品牌的琴弦在不同琴上，所发出的金属噪音音量不一样，显示琴器本身对纵向振动影响不小。这可能是不同琴器的共鸣情况不同，或是不同岳山对纵向振动的反应不一样。希望斲琴家可以钻研到方法，减少琴器的纵向振动金属噪音。同时，亦希望琴弦制造者可以把琴弦的物料和制造作微调，令自由纵向振动的频率与琴的标准音配合，减少不协和的效果[34]。

另一层次的问题是钢弦或丝弦孰优孰劣。丝弦是传统材料，钢弦是现代产物，现时的丝弦和钢弦各有其优点和缺点，不同琴人也有其喜好和执着，牵涉复杂的价值观和美学因素，本文不作详细讨论。本文作者只觉得，现时的丝弦和钢弦的素质均有其改善空间，在现代古琴艺术领域中，两者亦应各有其重要席位。

原文载《香江琴缘》（香港：香港文化博物馆，2014），页86—95。

后 记

钢弦与丝弦声音初探

钢丝尼龙弦（简称钢弦）与丝弦孰优孰劣的争论，牵涉复杂的价值观和美学因素。钢弦丝弦爱好者之间的讨论，亦涉及各类琴弦的声音特性。

余韵的长度

首先是琴弦余韵的问题。成公亮老师认为[35]，明末开始，古琴音乐转向声少韵多，“走手音”时值长，丝弦的摩擦声往往盖过微弱的音韵，故此：能够适应明代和明代之前琴曲演奏的丝弦，到清代便不适应了！他认为钢弦的余音长，摩擦声小，较适合声少韵多的琴曲，不过，钢弦的金属声和过于冗长的余音则是缺陷。

但是，有部分喜爱丝弦的琴人，却认为丝弦的余韵实在比钢弦长，更有古琴味道。

为此，本文的第二作者黄振丰使用同一张琴，分别张上钢弦及丝弦，利用声音分析软件测试了两者二弦调至D2时，其空弦声音的情况。弹奏处是岳山与一徽中间，所用软件与硬件、以及声音取样方式，均与上文研究纵向振动时相同。

由于钢弦的音量比丝弦大，两者余韵长短的比较，要看两弦在不同时段的响量度、与该弦“起振”（attack）后的响量度的比例。下表的数据，是与该弦0.1秒的响亮度的比例：

由此可见，钢弦空弦的余韵明显较丝弦的长。

余韵的长短直接影响按音滑音（虚音）的音量。丝弦的余韵较短，故其虚音的音量一般较钢弦弱。但是，虚音的音量，不单是来自右手弹奏的余音。左手在弦滑动时，手指与弦的摩擦亦会产生微弱的乐音，而这由摩擦产生的乐音，于丝弦较明显。故此，虚音的音量，还要看乐句的结构和琴人弹奏的方法。此外，古琴虚音的效果，更关乎左手细致的装饰和变化，以及摩擦音的控制，琴家之间的分别，不单是用什么弦的问题。

另一方面，长的余韵亦有其缺点。由于钢弦余韵长，弹奏快速的空弦乐段时，声音重迭的情况较明显，效果可能混浊。近年发展出来的尼龙弦「龙人冰弦」的盒子上，便写着尼龙弦「解决了钢丝尼龙弦散音即空弦音余音过长问题」。故此，钢弦丝弦之间的选择，要全面考虑音色的分别、弹奏乐曲的特色、以及琴人追求的效果，而不单是看余韵的长短。

谐音的情况

至于弦的音色问题，一般人都感觉到钢弦的声音较明亮，丝弦则较纯厚古朴。

亦有喜爱丝弦的琴人认为，相比钢弦，丝弦在基音之上，有较多的谐音，而谐音亦能维持较长时间，故丝弦的音色较丰富。不过，这观点只是忆测，而未有实证支持。

为此，黄振丰把音波经过 Fast Fourier transformation （快速傅立叶变换）得出谐波分析图，首先的数据是从声音发出后0.3秒开始，采取0.3秒的数据，同样上者是钢弦，下者是丝弦[36]：

由图可见，钢弦和丝弦的谐音均丰富，基音则较弱。相比丝弦，钢弦的高次谐音较响，超过1000Hz时，其分别更明显[37]。不过，音色的好与坏，不单是看谐音的多与少。钢弦的高次谐音较响，音色较明亮，但是，高次谐音太响，可能产生“令人生厌”的金属声[38]。音色的整体感觉，亦要看“起振”（attack）的情况、以及纵向振动的影响等因素。

黄振丰接着检测谐音的衰减情况。下列四图显示了采音于0.3秒、0.5秒、1秒和1.5秒的谐波分析图，各图上者是钢弦，下者是丝弦。结果显示，钢弦和丝弦低频谐音的衰减都慢，跟基音差不多，两者的高频谐音的衰减则较低频快。故此，钢弦丝弦谐音的衰减情况并没有明显的分别。值得留意的，是在1.5秒的谐波图，钢弦部分于1200Hz和1300Hz之间，有一个响亮的谐波，参考了0.3秒的图，这是f17，应该是纵向振动引起的金属噪音[39]。

0.3秒

0.5秒

1秒

1.5秒

以上的分析，是此课题很初步的研究。我们发表此初步研究，是希望澄清一些“想当然”的忆测讨论，更希望能抛砖引玉，有其他学者继续作深入和严谨的探讨。

[1] 郑德渊《音学音响学》（台北：乐韵出版社，1981），76；Jesse J. Josephs, The Physics of Musical Sound（Princeton, N. J.: D. Van Nostrand Company, 1967）, 91—92。

[2] 陈长林〈古琴琴弦直径（密度）概算〉，载查阜西编《传统的造弦法》（中央音乐学院民族音乐研究所，1957年），附录三。

[3] 根据陈先生在该文第十五页（左页）底的“合理算法”理论，各弦频率与各弦纶数之平方根应成反比，可是，在十六页（右页）的〈表三〉的计算却是各弦频率之平方根与各弦纶数成反比，这令他的计算结果与他的理论不配合。纶数据陈先生“合理算法”的结果应为：陈先生把文章收入《陈长林琴学论文集》（北京：文化艺术出版社，2012，页209—219）时，已作更正。

[4] 黄树志〈从琴弦探讨古琴过去、现在与将来的发展路向〉，《七弦琴音乐艺术》第六辑（1999）：23—25。

[5] 黄树志〈谈古琴弦规格〉，《北市国乐》第157期（2000）：5—7。

[6] Wood Alexander, The Physics of Music, 6th ed. （London: Methuen, 1962）, 44.

[7] 查阜西《琴弦问题》，载黄旭东等编《查阜西琴学文萃》（杭州：中国美术学院出版社，1995），页384—387。

[8] James Beament, The Violin Explained （Oxford: Clarendon Press, 1997）, 50.

[9] 同上，页213。

[10] 白居易诗〈废琴〉首两句。

[11] 有关琴弦近年来的制造和讨论，可以参考成公亮〈漫话五十年来的古琴琴弦〉，《音乐爱好者》， 2009年，第6期：44—47。

[12] 谢俊仁〈古琴音色与琴弦之纵向震动〉，《七弦琴音乐艺术》第五辑（1999）：29—30。谢俊仁〈古琴丝弦张力的比例〉，《七弦琴音乐艺术》第八辑（2001）：37—39。

[13] 琴弦发声，主要来自垂直于其轴线方向的振动，即横向振动（transverse vibration）。纵向振动则是琴弦沿其轴线方向的往复运动，并不是琴音的主要构成部分，但会影响琴音整体的音色。

[14] 二弦1/8处（一徽）的泛音比基音高三个八度，一弦1/9处（即一徽稍右第一个暗徽）的泛音比基音高三个八度加一个大二度，故两者都是D5（d''）。

[15] Jess J. Josephs, The Physics of Musical Sound （Princeton: D. Van Nostrand Company, 1967）, 91—92. 另一参考资料为 Neville H. Fletcher and Thomas D Rossing, The Physics of Musical Instruments（New York: Springer-Verlag, 1991）, 53—54.

[16] 横向振动谐音的音节是相对地不动的。如果在音节的位置弹奏，该谐音便发不出来。

[17] H. A. Conklin, “Generation of partials due to nonlinear mixing in a stringed instrument,”J. Acoust. Soc. Am. 105（1999）, 536—545.

[18] B. Bank and L. Sujbert,“Generation of longitudinal vibrations in piano strings: From physics to sound synthesis,” J. Acoust. Soc. Am. 117（2005）, 2268—2278. 作者在同一课题的较早研究有B. Bank and L. Sujbert, “Modeling the longitudinal vibration of piano strings,” in Proc. Stockholm Music Acoust. Conf., Stockholm, Sweden（2003）, 143—146.

[19] H. A. Conklin, “Design and tone in the mechanoacoustic piano, part III: Piano strings and scale design,” J. Acoust. Soc. Am. 100（1996）, 1286—1298.

[20] H. Penttinen, J. Pakarinen, V. Välimäki, M. Laurson, H. Li, and M. Leman, “Model-based sound synthesis of the guqin,” J. Acoust. Soc. Am. 120（2006）, 4052—4063.

[21] A. A. Malashin, “Forced longitudinal vibrations of prestretched flexible deformable strings at the frequencies of transverse vibrations,” Doklady Physics 52, no. 9（2007）, 496—498.

[22] B. Bank and H.-M. Lehtonen, “Perception of longitudinal components in piano string vibrations,” J. Acoust. Soc. Am. 128, no. 3（2010）, EL117—123.

[23] 该琴的有效弦长是110.2cm，比谢俊仁在1999年文章内讨论的琴稍短7.8cm。

[24] 所取数据由0.3秒开始，是避免采纳手指触弦时，起初发出的杂音。

[25] 由于测试的目标是研究金属噪音，所以，测试时采纳了接近C2而金属噪音最响的音高，这比C2稍高1.3Hz。

[26] 图像显示的dB，只是相对的音量，而非实际的音量，本文其他图表显示的dB亦如此。

[27] Steven Errede, “The Physics of a Longitudinally Vibrating Metal Rod,” in UIUC Physics 193POM/498POM Physics of Music/Musical Instruments, Department of Physics, University of Illinois, http://ebookbrowse.com/longitudinally-vibrating-singing-rod-pdf-d441976184（accessed April 2013）.

[28] 谢俊仁1999年的文章论述的纵向摩擦音是比D6稍高，今次测试的琴较1999年的琴短（请看注14），所以摩擦音较高。

[29] 如上文所述，当二弦基音是D2时，其（f8 +f9）接近该弦的自由纵向振动频率。

[30] 请留意，图3和图4内响亮的f15不能用“接近自由纵向振动频率”来解释。为此，本文作者未能找到适当的理论成因。但是，这对耳朵听到的金属噪音影响不太大。

[31] f8最右的音节在岳山起弦长1/8处（即一徽），f9最右的音节在岳山起弦长1/9处（即一徽稍右第一暗徽）。

[32] f10最右的音节在岳山起弦长1/10处（即一徽稍右第二暗徽）。

[33] 表列的dB，只是相对的音量，而非实际的音量。较高次的谐音的波峰稍有分离为二，表内数据是较低频的波峰，因为如果纵向振动谐音（“幻象谐音”）与横向振动谐音分离，较低频的是前者。

[34] 钢琴制造者在九十年代已留意这点。请参考H. A. Conklin, “Design and tone in the mechanoacoustic piano, part III: Piano strings and scale design,” J. Acoust. Soc. Am. 100（1996）, 1286—1298.

[35] 成公亮《秋籁居琴话》（北京：三联书店，2009），页49—50。

[36] 所取数据由0.3秒开始，是避免采纳手指触弦时，起初发出的杂音。

[37] 图中显示的dB，只是相对的音量，而非实际的音量，本文其他图表显示的dB亦如此。

[38] 成公亮讨论钢弦声音时，用了此形容词，请看《秋籁居琴话》，页50。

[39] 有关纵向振动，请看本文的正文。