伊朗古称波斯数学成就欧亚先驱人物非欧几何学

霍拉桑人

在2012年首尔和2016年里约热内卢连续两届国际数学家大会上,两位伊朗人米尔札哈尼(MaryamMirzakhani,1977—2017)和比尔卡尔(CaucherBirkar,1978—)先后获得菲尔兹奖。他们出生在伊朗,在首都德黑兰接受了大学教育,之后分别留学美国和英国,前者还是第一个也是迄今唯一一个获得菲尔兹奖的女性。事实上,伊朗古称波斯,历史上在数学领域有过辉煌的成就,其中11世纪的欧玛尔·海亚姆和13世纪的纳西尔丁对于欧几里得的平行公设做了有益的思考,他们堪称非欧几何学的先驱人物。但要说到波斯数学,我们首先需要提及的是花拉子密(Al⁃Khwarzmi,约783—850)。

公元762年,即中国大诗人李白诞生的第二年,阿拉伯帝国阿拔斯王朝的第二任哈里发曼苏尔定都巴格达。这座城市开始兴旺起来,半个世纪以后,它已成为继长安之后世界上最富庶的城市。不仅如此,在中世纪欧洲文化衰落,大量古籍被销毁之后,伊斯兰各民族继承了希腊人的包括数学在内的文明传统。830年,第七任哈里发麦蒙下令在首都建造了智慧宫,那是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构,很快它成为自公元前3世纪的亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。早期智慧宫的主要学术带头人正是花拉子密,他出生在阿姆河下游的花拉子模,即今天乌兹别克斯坦的希瓦城附近,是拜火教徒的后裔。拜火教又名琐罗亚斯德教,迄今已有2500多年历史,是波斯的国教,如果花拉子密不是波斯人,至少也在精神上趋近于波斯民族。

花拉子密留下两部传世之作——《代数学》和《印度的计算术》。前者原名《还原与对消计算概要》,其中“还原”一词al⁃jabr有移项之意。此书约完成于820年,12世纪被译成拉丁文,在欧洲影响很大,al⁃jabr一词后来被译成algebra,这正是今天西方文字中的“代数学”。印度人只给出一元二次方程一个根的求法,而花拉子密求出了两个根。可以说,他是世界上最早认识到二次方程有两个根的数学家。此外,他还引进了移项、合并同类项等代数运算方法,可以说比希腊人和印度人的著作更接近于近代初等代数。花拉子密的著作在欧洲被用作标准课本长达数百年,这对东方学者来说十分罕见。

《印度计算法》也是数学史上很有价值的一本书,该书系统地介绍了印度数码和10进制记数法,使其流行于阿拉伯世界。12世纪,这本书传入欧洲,其拉丁文手稿现存于剑桥大学图书馆。印度数码随后逐渐取代希腊字母记数体系和罗马数字,成为世界通用的数码,以至于人们习惯称印度数码为阿拉伯数字。值得一提的是,该书原名为《花拉子密的印度计算法》(Algoritmidenumeroindorum),Algoritmi是花拉子密名字的拉丁文翻译,现代数学术语“算法”(Algorithm)一词即来源于此。

海亚姆肖像

欧玛尔·海亚姆(OmarKhayyam,1048—约1131)是波斯民族也是阿拉伯世界最具智慧象征的人物,他出生在今天伊朗东北部霍拉桑地区(Khorasan在波斯语里的本意是“太阳之地”,意即东方,笔者曾在《数学传奇》一书里有过介绍)的古城内沙布尔。“海亚姆”是指制作或经营帐篷的职业,可能他的父亲或祖辈从事这项工作,正如英语里的Smith(史密斯)是铁匠。不同的是,制作帐篷就像弹棉花一样需要经常换地方。正因如此,海亚姆得以有机会跟随父亲在各地漫游,先是在家乡,后来在阿富汗北部小镇巴尔赫接受教育,接着他们来到中亚最古老的城市撒马尔罕(今属乌兹别克斯坦),海亚姆在当地一位有政治背景的学者庇护下,从事数学研究。

那时候,一个叫塞尔柱的土耳其突厥人的王朝已经兴起,领土从外高加索山脉一直延伸到地中海,也包含了波斯。在塞尔柱苏丹马利克沙的邀请下,海亚姆来到首都伊斯法罕(今伊朗中部城市),主持新建的天文台并进行历法改革。事实上,这是海亚姆的立足之本和生活的保障,而数学发现是他的副业,他提出在平年365天的基础上,每33年增加八个闰日。这样一来,与实际的回归年仅相差19.37秒,即每4460年误差一天,比现在全世界通行的公历还要准确,可惜因为领导人的更迭,他的历法改革未能实施。

海亚姆的四行诗

海亚姆在伊斯法罕度过了一生的大部分时光,伊斯兰教义、塞尔柱宫廷和波斯血统这三者在他身上交替呈现。时局动荡和个性使他的生活并不称心如意,他终生独居,并不时把头脑里那些不合时宜的思想悄悄地用波斯语记录下来,以流行在故乡霍拉桑地区的四行诗为载体。诗的第一、二、四行的尾部要求押韵,类似于中国的绝句。海亚姆有着诗圣杜甫“语不惊人死不休”的气概,正如他在诗中所写的(《鲁拜集》第71首,拙译):

那挥动的手臂弹指间已完成

继续吟哦,并非用虔诚或智慧

去引诱返回删除那半行诗句

谁的眼泪都无法将单词清洗

海亚姆利用几何方法,求解三次方程

在欧几里得《几何原本》里,有用几何方法解二次方程的例子,可以用圆规和直角三角形的毕达哥拉斯定理来求取解答。三次方程的求解显然更为复杂,海亚姆想出一个巧妙的方法,他通过抛物线和圆的交点来确定它们的根。此外,他在证明欧几里得平行公设方面也做了有益的尝试。1077年,海亚姆撰写了《辨明欧几里得公设中的难点》一书,书中讨论的难点之一就是第五公设,即平行公设。用18世纪苏格兰数学家普莱菲尔(J.Playfair,1748—1819)的较为简洁的语言描述便是:

过已知直线之外,能且只能作一条直线与已知直线平行。

用以证明平行公理的四边形

即便如此,第五公设也不像其他公设那样显而易见。因此,人们便想尝试证明它。海亚姆在书中假设一个四边形ABCD,如图所示,DA和CB等长且均垂直于AB边,由对称性可知∠C与∠D相等。显然,这个角度可分三种情形,即直角、锐角或钝角。海亚姆试图证明锐角或钝角均导致矛盾,从而可证明平行公设,但他的证明是有缺陷的。事实上,海亚姆证明的是:两条直线如果越来越接近,那么它们必定在这个方向上相交。而这个结论其实与平行公设等价,换句话说,他并没有证明平行公设。

比海亚姆晚一个半世纪,也是在霍拉桑地区,诞生了另一位数学天才纳西尔丁(Nasiral⁃Din,1201—1274)。纳西尔丁后来在伊朗西北部伊利汗国首都大不里士主持天文台,他在数学方面出版了三本著作,分别是关于算术、几何和三角学,其中《横截线原理书》是数学史上最早的三角学专著。在此以前,三角学知识只出现于天文学的论著中,是附属于天文学的一种计算方法,纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支。正是在这部书里,他率先给出了如今中学数学课本里的正弦定理:

设A、B、C分别为三角形的三个角,a、b、c是它们对应边的长度,则

在几何学方面,纳西尔丁曾两次修订和注释欧几里得《几何原本》,也对平行公设进行了探讨。他的几何学著作叫《令人满意的论著》,书中沿用海亚姆的四边形方法,他证明了:如果∠C和∠D是锐角,那么可推出三角形的内角和小于180°,这正是罗巴切夫斯基几何的基本命题。纳西尔丁还得到与平行公设等价的一系列命题,成为非欧几何学前史的重要里程碑。他和海亚姆的工作后来由意大利数学家萨凯里(Saccheri,1667—1733)等人发扬光大,并最终导致非欧几何学的建立。

几何学的革命

古希腊最光辉灿烂的成就之一是构建了几何学的演绎体系,即欧几里得几何学。它从源于经验的公认的原则开始,以一系列深刻的定理结束,其中有些至今仍在数学领域中非常重要、不可或缺。公元前3世纪,欧几里得总结了自泰勒斯和毕达哥拉斯学派等前辈的工作,到柏拉图学园的莱昂(Leon)和图狄乌斯(Theudius)的教科书,利用自己巧妙的构思,完成了《几何原本》这部著作,为稍后阿波罗尼奥斯的圆锥曲线理论和阿基米德关于几何学、力学的进一步研究提供了坚实的基础。

欧几里得几何学的重要意义,除了它所包含的实际数学内容,更在于它所使用的数学方法,尤其是用来表现和发展数学的系统方法。这个方法就是公理和逻辑演绎方法,它成为过去2000多年数学各个门类乃至某些其他学科发展的典范。事实上,欧几里得从五条公理和五条公设出发,加上一些特别的定义(如把点定义成没有部分的一种东西,把线定义为没有宽度的长度),推演出了465个定理和命题,显示了公理化方法的强大威力。

2000多年来,欧几里得几何学始终占有神圣而不可动摇的地位。数学家们相信它是绝对真理,笛卡尔的解析几何虽然改变了几何研究的方法,但从本质上讲并没有改变欧氏几何本身的内容,牛顿也将他自己创立的微积分披上欧氏几何的外衣。与他们同时代或后来的哲学家霍布斯、洛克、莱布尼茨、康德和黑格尔也都是从各自的观点出发认定欧氏几何是明白的和必然的。被誉为近代最伟大哲学家的康德(ImmanuelKant,1724—1804)在《纯粹理性批判》中甚至声称,来自直观的意识迫使我们只按一种方式来观察外部世界,他同时借此断言,物质世界必然是欧几里得式的,并认为欧氏几何是惟一的和必然的。

另一方面,早在1739年,即康德上大学前一年,苏格兰哲学家休谟(DavidHume,1711—1776)就在著作《人性论》中否定宇宙中的事物有一定法则。他的不可知论表明,科学是纯粹经验性的,欧几里得几何的定理未必是物理的真理。事实上,从它诞生那一刻起,就有一个问题困扰着数学家,那就是上节提及的平行公设。它的叙述不像其他四条公设那样简单明了,当时就有人怀疑它不像一个公设而更像一个定理。18世纪法国数学家达朗贝尔(DAlembert,1717—1783)戏称它为“几何学的家丑”。为了遮掩“家丑”,数学家们做了多方努力,其中之一是试图用其他公设和定理证明,于是有了前面谈及的波斯数学家海亚姆和纳西尔丁的尝试。

休谟肖像(1754)

之后的历史是一段空白,直到18世纪中叶,终于有三位名声不大响亮的数学家取得进展。他们分别来自意大利、德国和瑞士,所用的方法与海亚姆和纳西尔丁的尝试并无本质区别,同样是考虑了四边形ABCD,其中∠A=∠B为直角,再用归谬法排除∠C=∠D为锐角和钝角的情形。经过一番努力,在意大利人工作的基础上,德国人对平行公设能否由其他公设或公理加以证明首先表示怀疑,而瑞士人则认为一组假设如果引起矛盾的话,有可能导出一种新的几何学。后两位都接近成功,却由于某种原因退却了,不过,他们仍是非欧几何学的先驱。(www.xing528.com)

历史上有过由两位数学家同时开创出一门新学科的例子,例如笛卡尔和帕斯卡尔发明了解析几何,牛顿和莱布尼茨创立了微积分。非欧几何学的诞生更为稀罕,共有三位不同国度的数学家参与其中,并在相互不知情的情况下用相似的方法导出了非欧几何学。这三位数学家是德国的高斯、匈牙利的鲍耶和俄罗斯的罗巴切夫斯基,前一位早已大名鼎鼎,后两位均是初出茅庐,并主要是以这一项工作名垂史册。

在前人工作的基础上,三位数学家都判定过已知直线外一点能作多于一条、恰好一条和没有一条直线平行于已知直线这三种可能性,分别对应于前文所说的锐角假定、直角假定和钝角假定。他们都相信在第一种情况下能够得出相容的几何,虽然他们并没有证明这种相容性(即锐角假定与直角假定并不矛盾),但都实现了锐角假定下的几何的和三角的推演。至此,新的几何学便建立起来了。高斯将其命名为“非欧几何学”,这使得所有的几何学都用那位幸运的古希腊数学家名字命名,这在其他科学分支中未曾见到过。

下面我们举一个简单的例子。考虑任意一条二次曲线(例如椭圆)围成的区域,可以把它看作是一个非欧几何学的空间。如图所示,我们定义椭圆上的点为无穷远点,椭圆内部的点为有限点;任何两个无穷远点A、B的连线构成一条直线。给定一条直线AB,其中A、B为直线与椭圆的交点,设P为AB以外椭圆上或椭圆内部的任意一点,从P点引两条直线PA和PB与直线AB分别相交于A点和B点。用德扎格尔提出的观念和定义(参见第五章),相交于无穷远点的两条直线即相互平行,这样一来,便有两条直线PA、PB与AB平行。

罗巴切夫斯基几何图例

高斯除了在给朋友的信中略有透露以外,生前没有公开发表过任何非欧几何学方面的论著,或许他感到自己的这一发现与当时流行的康德哲学相违背,担心受到世俗的攻击。用他自己的话来讲就是,“黄蜂就会围着耳朵转”,因为那时的高斯已经是全欧洲的名人。这样一来,就给了两位异国的年轻后生青史留名的机会,这一至高的荣誉无疑也属于他们各自的祖国。

鲍耶(JanosBolyai,1802—1860)是匈牙利人,他出生的小镇即今天罗马尼亚的克卢日,隶属特兰西瓦尼亚大区。鲍耶的父亲早年就读于哥廷根大学,是高斯的同学和终生好友,后来他回到故乡,在一所教会学校执教了半个世纪。在父亲的教导下,小鲍耶少年时代就学习了微积分和分析力学。他从维也纳帝国工程学院毕业后,被分配到军事部门工作,却一直迷恋于数学尤其是非欧几何学的研究。当老鲍耶得知儿子的志向时,坚决反对并写信责令其停止研究,“它将剥夺你所有的闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐,这个无底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿”。

鲍耶像

可是,小鲍耶仍执迷不悟,他坚持自己的理想。23岁那年,他趁回家探亲,把写好的论文带回家请父亲过目,仍不被接受。直到老鲍耶要出版一本数学教程时,才把儿子的成果压缩后放进附录。不出所料,这部著作的发表没有引起任何反响,第二年,小鲍耶不幸遭遇车祸致残,退役回到了故乡,和父亲一样经历了糟糕的婚姻。不同的是,儿子比父亲多了一个磨难——贫穷,加上从俄国方面传来罗巴切夫斯基创立新几何学的消息,鲍耶只得在文学写作中寻求安慰。在鲍耶郁郁寡欢死去30多年以后,匈牙利政府修复了他的墓地,立塑像供人瞻仰。后来,又设立鲍耶奖,数学大师庞加莱、希尔伯特以及物理学家爱因斯坦是最初的三位获奖人。

现在,我们来谈谈最先发表非欧几何学的罗巴切夫斯基(NikolasLobachevsky,1792—1856)。他出生在莫斯科以东约400公里处的下诺夫格罗德,做牧师的父亲早逝,幸亏母亲勤劳、顽强而开明,把儿子们送到300多公里外(与莫斯科相反方向)的喀山中学就读,其中罗巴切夫斯基将在那里度过余生。14岁那年,他进入了喀山大学。喀山是俄罗斯联邦第一大少数民族所在鞑靼共和国的首府,喀山大学后来成为莫斯科和圣彼得堡以外最令人尊敬的学府,可是在罗巴切夫斯基时代尚且默默无闻。

罗巴切夫斯基肖像(1843）

罗巴切夫斯基在中学和大学里都遇到了优秀的数学老师,在他们的引导下,阅读了大量数学原著,并展现了才华。他那富于幻想、倔强和有些自命不凡的个性使其经常违反学校纪律,却得到教授们的欣赏和庇护。硕士毕业后留校工作,依靠他卓越的行政能力和非欧几何学以外的学术成就,顺利得到升迁,直至做了教授、系主任乃至一校之长。列夫·托尔斯泰(1828—1910)进入东方语言系时,他正好担任校长。而在列宁(1870—1924)入读法律系时,他已经过世。

虽说罗巴切夫斯基在官场上春风得意,但他在非欧几何学方面的工作却迟迟未得到承认。那时俄国还是个科技落后的国家,之前还没有出现一位闻名欧洲的数学家,不敢贸然承认这项伟大发现。1823年,罗氏撰写了一本小册子《几何学》,部分包含了他的新思想,但在科学院审读时被否定了。三年后,他在校内学术研讨会上报告,也被他的同事认为荒诞不经,没有引起任何注意,甚至手稿也遗失了。又过了三年,已是一校之长的罗巴切夫斯基在俄文版《喀山大学学报》上正式发表自己的结果,他的工作才缓慢地传递到西欧。

无论如何,一门新的几何学终于宣告诞生了,它被后人称作罗巴切夫斯基几何。可是,高斯和鲍耶的名字并没有用来为新几何冠名,鲍耶在他父亲著作的附录里称它为绝对几何学,而罗巴切夫斯基则在他的论文里称它为虚几何学。那时候,新几何学的影响力十分有限,人们对它半信半疑。直到高斯去世,他那有关非欧几何学的笔记本被公之于众。由于高斯的地位和名望,人们的目光才一下子聚拢过来,“只能有一种可能的几何学”的信念终于被动摇了。

黎曼

2019年4月10日,包括上海天文台在内的全球六家天文观察机构同时发表声明,公布了他们合作拍摄到的首张黑洞照片。此前两年,引力波被直接探测到和黎巴嫩裔英国数学家阿蒂亚爵士宣布证明黎曼猜想这两项重大科学新闻,同样引发全球公众的高度关注,丝毫不亚于一年一度的奥斯卡颁奖礼。物理学家爱因斯坦再次成为人们膜拜的偶像,与黑洞一样,引力波的存在性也是他的广义相对论所预言的。然而,有一个关键性人物被忽视了,那便是19世纪的德国数学家黎曼(BernhardRiemann,1826—1866),他建立的黎曼几何学是爱因斯坦广义相对论的基石,同时他又提出了迄今为止数学领域最负盛名的黎曼猜想。

事实上,罗巴切夫斯基几何建立以后,人们对平行公设的疑虑并未彻底消除,因为钝角假设尚没有得到回音,罗氏几何与欧氏几何之间的内在联系和区别也未理清。这一切有待于一位非凡的数学天才的出现,他就是黎曼。1826年,黎曼出生在汉诺威公国易北河附近的小村布列斯伦茨,那里距离高斯的出生地不伦瑞克大约100公里。黎曼是个虔诚的路德教牧师的儿子,家里人口众多,20岁那年他入读高斯所在的哥廷根大学神学系,后来转为数学专业。1851年,黎曼在高斯指导下获得博士学位。

翌年,黎曼为无薪讲师职位做了就职演讲,只有演讲通过才能取得授课资格。黎曼向系教授会提交了三个题目,其中两个是关于数学物理的,他原本希望能选中这两个题目中的一个,对此他已有所准备。没想到高斯对第三个问题更感兴趣,那是有关几何基础的,高斯本人多年以前便已考虑过,并与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶各自独立建立了一种非欧几何学,也即罗巴切夫斯基几何。虽说黎曼并未有完全的把握,也只好硬着头皮上台了。

球面是黎曼几何,每一条过球心的大圆是直线

黎曼演讲的题目是《论作为几何学基础的假设》,从中他建立起黎曼几何学的基础,并给出了黎曼度量的定义。他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间,并称其为流形,再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念,让他尤其关注的是所谓“常曲率空间”,即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性:

曲率为正常数,曲率为负常数,曲率为零。

黎曼指出,第二种和第三种分别对应于罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何,即锐角几何和直角几何,而第一种情形对应的则是他本人创建的钝角几何,即黎曼几何。在欧式几何里,过已知直线外一点恰好能作一条直线与该直线平行;在罗氏几何里,过已知直线外一点可以作不止一条直线与该直线平行;而在黎曼几何里,过已知直线外一点不能做任何直线与该直线平行。与此同时,欧氏几何第二公设也得到补充,有限线段可以无限延长,但所有直线有相同的长度。可以这么说,黎曼是第一个理解非欧几何学全部意义的数学家。从这个意义上讲,黎曼是富有哲学思维头脑的数学家。

黎曼的就职演讲所含思想是如此丰富和先进,60年后它作为广义相对论的主要数学框架得到了应用,人们用诸如“划时代的”“不朽的”等词汇形容它。有趣的是,这个演讲几乎没用符号,只有一个公式、三个根号、四个和式与五个等号。而爱因斯坦广义相对论所需要的数学工具,即三维空间和时间可以在数学上处理为四维空间,已包含其中。作为牛顿之后最重要的科学发现,广义相对论首次把引力场解释成时空的弯曲,并推导出大质量恒星最终会归结为一个黑洞的论断。事实上,球面作为黎曼几何的特例,其直线为圆心在球心的大圆,任意两点之间的最短距离是圆弧的一部分。

黎曼之墓,意大利马焦湖畔

与罗巴切夫斯基几何一样,黎曼几何的某些定理与欧氏几何是相同的。例如,三角形的等角对等边定理、直角边定理(斜边和一条对应直角边相等的两个三角形全等)。但是,另一些定理却出乎人们的习惯思维。例如,一条直线的所有垂线相交于一点;两条直线可以围成一个封闭的区域。又如,除了第五公设被完全排除以外,第二公设则得以修正,即直线可以是无界的但却长度有限并且相等;没有平行直线,即任何直线均相交。此外,相似多边形必然是相等的。

这样一来,球面上的三角形就是三个大圆的弧围成的图形。容易发现,这样一个三角形的内角和大于180度。事实上,我们可以让三角形的两条边同时垂直于另一条边,这样便拥有两个直角。而在罗巴切夫斯基几何中,任何一个三角形的内角和总是小于180度。不仅如此,面积较大的三角形有着较小的内角和(黎曼几何刚好相反)。另一方面,对罗巴切夫斯基几何来说,相似三角形必然全等,而两条平行线之间的距离,沿一个方向趋近于零,沿另一个方向则趋于无穷。

至此,人们终于明白,在几何世界里,不存在一种几何学,它比其他两种几何学更准确地描绘出现实世界。因此,数学家和哲学家们不得不放弃他们原先的观念,即可以用同样无矛盾的和合理的几何来代替那种曾被认为唯一正确的几何。他们认识到,数学系统不仅仅是有待发现的自然现象,数学家们也可以通过选择无矛盾的公理和公设以及通过研究它们导出的定理来构造出一种全新的系统。这一观念的改变,可能是欧几里得遗产中最重要的和最有深远意义的部分。

毕加索«阿维尼翁少女»(1907)

最后,我们想说一下非欧几何学与立体主义绘画的关系,据说毕加索是从他的一位叫普兰斯的保险精算师朋友那里了解到非欧几何学的,这位精算师读过法国数学家庞加莱写的一本关于四维几何学的科普著作。毕加索认为,画家的工作是把三维空间里的人或事物描绘到二维平面上,假如真的有四维空间的人或事物,那画家还是得把它画到二维平面上。毕加索认为既然如此,必然要有所不同,经过一番思考,他决定让人物的脸和身体左右不对称,甚至可以一边是人,另一边是动物。《阿维尼翁少女》因此而诞生,这是立体主义的开山之作。