约翰·塞巴斯蒂安·巴赫：数学与艺术

音乐之父

现在,我们把目光从哈茨山西南麓的哥廷根转向正南的爱森纳赫,那座小城隶属图林根州。图林根位于德国中央,是个只有200多万人口的小州,却是欧洲最负盛名的宗教领袖马丁·路德的故乡。他出生在图林根,在州府埃尔福特念完大学和硕士,并在此做过修士。拿破仑和沙皇亚历山大一世曾在此城会晤,后者拒绝了前者对他妹妹的求婚。该州两座文化名城魏玛和耶拿享誉世界,魏玛名人荟萃,耶拿是大学城。歌德在魏玛居住了半个多世纪,还有席勒、尼采、李斯特等,著名的包豪斯学院也建在魏玛。至于“一战”之后短暂的魏玛共和国,则是历史学家的说法,只因魏玛宪法在那里起草。

1685年3月21日,约翰·塞巴斯蒂安·巴赫(JohannSebastianBach,1685—1750)出生在爱森纳赫的一个音乐世家。正是在这座依山修建的富有童话气息的小城,马丁·路德将《圣经》译成德文。爱森纳赫与音乐有着很深的渊源,中世纪时游吟诗人和宫廷乐手常在此表演和比赛,瓦格纳的歌剧《唐·豪塞》便依此写成,此城堪称德国音乐的发祥地。巴赫的爷爷有两位兄弟是作曲家,父辈中也有几位兄弟姐妹是音乐家。巴赫是家中幼子,他的父亲是公爵府的弦乐器演奏家,教会了他弦乐器的基本知识,并带他去教堂做礼拜。教堂的管风琴师是巴赫的长兄约翰·克里斯托夫,与法国现代作家罗曼·罗兰著名的长篇小说主人公同名。

巴赫肖像(１７４６)

十岁那年,巴赫的父母先后过世,他由长兄抚养。约翰·克里斯托夫教会小弟许多音乐知识,也给他上了最早的键盘乐器课。可是,虽说家中存放着祖上传下来的大批音乐资料,兄长却不许他翻阅,只因乐谱很珍贵,即便是抄写的,纸张的价格也不菲。巴赫只得趁哥哥离家外出或深夜熟睡之际,偷偷地把乐谱取下来,在月光下一笔一划地抄写。半年之后,他的视力严重受损,晚年在失明中痛苦地度过。小巴赫在当地的小学上学,在音乐上花费了很多心思,歌唱得很不错,学习成绩也很优异。

1700年,15岁的巴赫因为嗓音好,被吕讷堡的米歇尔教堂附属学校男童唱诗班录用,独自来到了哈茨山北面的汉诺威小城,开始独立生活。吕讷堡便是一个半世纪以后,数学神童黎曼求学的那座汉诺威小城。巴赫靠他美妙的歌喉和出色的演奏技艺谋生,他会古钢琴、小提琴和管风琴等乐器,演出之余,还进神学校念书。那里的图书馆藏有丰富的古典音乐作品,巴赫在其中汲取各种流派的艺术养分,开阔了自己的音乐视野。为了练琴,他常常通宵达旦。每逢假日,他每每步行50公里去汉堡,聆听名家的音乐会。

不过,少年巴赫很快就面临青春期的变声,他无法继续在唱诗班演唱了。1702年夏天,巴赫回到图林根,此时的他已是一位挺不错的管风琴手了。更重要的是,吕讷堡的经历使得他脱离家族的弦乐演奏传统,逐渐成长为一位键盘音乐的演奏家和宗教音乐的作曲家。翌年春天,他成为魏玛公爵的乐队成员,但这份工作只是临时过渡,他瞄准了阿恩斯特教堂新安装的管风琴,渴望成为管风琴师。在被邀请去做调试以后,巴赫果然得到了那份工作。阿恩斯特位于图林根州府南边的森林边缘,他在那里生活了四年,把南方的形式主义风格与北方的狂想曲派较好地融合在一起。

有一年秋天,巴赫利用假期,步行300公里到汉堡东北的波罗的海港口、汉萨同盟的总部所在地吕贝克,回来晚了将近两个月,加上之前曾与一位演奏大管的同事吵架,引发不体面的扭打,遭到雇主的解雇。不过那会儿,巴赫已经不愁找不到工作。他很快受雇于另一座图林根小城米尔豪森的教堂,并在那里迎娶了表妹。一年之后,他回到魏玛,在那里又生活了九年。巴赫担任公爵府的管弦乐师,后来又出任乐正,他演奏了清唱剧《上帝是我的国王》,创作了大部分管风琴作品,并开始了协奏曲创作,还发现了比他稍长的意大利作曲家维瓦尔第。

1717年,巴赫又一次离开图林根,去萨克森-安哈尔特州的克腾,担任利奥波德亲王的乐正;但魏玛公爵阻挠其辞职,在将其关押入狱近一个月以后,才终于批准。在克滕的六年是巴赫一生的黄金时代,他创作了被誉为“键盘乐的《旧约圣经》”的《平均律钢琴曲集》上部和在管弦乐发展史上有里程碑意义的《勃兰登堡协奏曲》等大量出色的世俗和宗教音乐。说到《勃兰登堡协奏曲》,一共六首,展示了绚丽多彩而富有独创性的对比、华丽而高超的复调手法,是巴洛克协奏曲的典范,也是巴赫最好的管弦乐作品,被后辈同胞瓦格纳赞为“一切音乐中最惊人的奇迹”。

据音乐史家考证,这组协奏曲原本是为克腾亲王而作,他会多种乐器,是巴赫的知己。1719年冬,巴赫从克滕到柏林,曾为勃兰登堡大公演出,大公叫巴赫送作品给他,他便选了这组协奏曲,题献给大公。巴赫用了多种乐器,最少的一首也需要七种,而大公乐班只有六位乐手,结果被束之高阁。大公去世后,乐谱被廉价卖掉。幸运的是,它们到了普鲁士公爵的女儿手中,手稿得以保存下来。倘若不是两位女子的变故,巴赫在克腾的时光应该是一生中最幸福的。先是夫人突然过世,这让巴赫陷入痛苦;接着亲王新婚,新娘是个“反对缪斯的人”。于是,巴赫便想着去莱比锡,那也是他生命的终点。

音乐城莱比锡

莱比锡的词意是“有菩提树的地方”,它离魏玛和克腾都很近,只有几十公里。事实上,巴赫一生的活动范围很小,犹如那位在菩提树下悟道的佛祖释迦牟尼。巴赫的足迹只在德国北部的一部分地区,可能比康德略广一些,与高斯相差无几。高斯去过一次柏林,而巴赫去过一次吕贝克,他们都没有离开过德国。他们三人分别是音乐家、数学家和哲学家的杰出代表,都不太喜欢旅行,也都擅长抽象思维。巴赫生活的范围,除了汉诺威的吕讷堡,在20世纪的大部分时间里均属东德的范畴,当然他游历过的汉堡和吕贝克不算在内。

巴赫一生的轨迹

1723年5月13日,巴赫在莱比锡宣誓就职,担任莱比锡城教堂乐队的乐正,他的职责是为四所教堂提供音乐演奏和吟唱。这其中,彼得斯教堂的唱诗班只领唱赞美诗,而新教堂、尼古拉教堂和圣托马斯教堂要求有多声部合唱。不过,巴赫只在后面两座教堂担任指挥,他自己的宗教音乐也只在那里演出。巴赫第一出上演的曲目是康塔塔《穷人嗷嗷待哺》,康塔塔的本意是清唱套曲,包含独唱、合唱、重唱等,通常有一个以上的乐章,大多有管弦乐队伴奏。康塔塔最初发源于意大利,巴赫的创作使其达到高峰,他一生共写了100多首康塔塔,既有世俗的也有宗教的。

翌年圣诞节,巴赫演奏了《圣哉经》,这是他的代表作《b小调弥撒曲》中的第四段,而前两段《垂怜经》和《光荣颂》在十年后才写成。这部宏大的曲子何时完成已无法考证,它出版是在1845年(巴赫身后95年),首次上演是在1934年(巴赫身后184年)。换句话说,巴赫本人从未听过,虽然宗教气息十分浓厚,但是太复杂太大型了,已超出教堂承受的上限,故而人们往往把它搬到音乐会上演出。而随着岁月的推迟,这部作品的价值越来越高。值得一提的是,虽说当时德国已实行基督新教,巴赫也是新教路德宗教徒,但那时德国的教堂尚未取消天主教的弥撒崇拜仪式。

在莱比锡,巴赫曾创作过五部受难曲,只有两部流传下来,其中最有名的是《马太受难曲》,它是巴赫根据《圣经·新约》里的《马太福音》创作的。这部作品讲的是耶稣被出卖、受刑、死去和复活的故事,规模宏大,使用了三个合唱队、两个各由17件乐器组成的管弦乐队、两座管风琴,外加独唱和独奏乐器。《马太受难曲》虽有一定的情节性,但是音乐所要表现的不是戏剧化的情节,而是史诗性的崇高精神。作为圣托马斯教堂的乐正,巴赫为《马太受难曲》的演出可谓费尽心机,他利用自己是莱比锡大学音乐主管的身份,动员了该校的学生合唱团,他自己家族里的音乐人才也全部参加演出。

虽说当年的演出盛况空前,但在市府机关的档案里却找不到任何对它的记载和评论。巴赫在音乐里掺进了很多的世俗化感情,这种大胆的尝试并不为保守的市政当局所欣赏,然而这正是巴赫音乐的价值所在。《马太受难曲》是巴赫教堂音乐的顶峰,这部作品之所以伟大,就是因为它表现的是热情、正义、崇高,歌颂的是人类的感情。可是,在巴赫去世之后,它就被人们遗忘了。直到一个世纪后,才被20岁的门德尔松重新发现,把它搬上舞台并亲自指挥。演出结束后,巴赫复活了,德国成立了巴赫学会。如今,人们已发现1000多部巴赫作品,犹如18世纪的瑞士数学家欧拉一样的高产,两人都在晚年双目失明。巴赫的名言是:“谁像我一样的努力,谁就有我一样的成就。”

与欧拉和高斯一样,巴赫也结过两次婚,他的第二任太太是他克腾时期小号手的女儿。巴赫共生了20个孩子,其中一半活到成年,长子也继承父业。巴赫在莱比锡生活了27年,导致他最后死亡的病因不得而知。不过,一位英国江湖医生为他做的两次不成功的眼科手术使得他的体质下降却是事实,此人的失败病例中还包括移居伦敦的德国音乐家亨德尔。当巴赫在65岁那年与世长辞时,他的上司如释重负,立即着手物色新乐正。市长先生放话,“学校需要主管,而不是一位乐正”。巴赫去世后的半个世纪里,他的音乐一直无人问津,他也始终默默无闻,直到门德尔松的出现。如今,去莱比锡的游客必然要造访圣托马斯教堂,巴赫一家安葬在教堂的后半部分,那里有一条线把木制地板空间分成两部分。

圣托马斯教堂,绳子下方是巴赫及家人下葬处,作者摄于莱比锡

巴赫被一些乐评家和乐迷赞为“音乐家中的数学家”,原因应该是多种多样的。毕达哥拉斯对音乐理论的贡献是发现了和谐音程的数学关系,对位法正是把这种和谐关系运用于实践,而巴赫对博大精深的对位法贡献巨大。他的作品穷尽了对位法的各种组合,利用耐心细致的想象力,写出了优美而情感丰富的复调。巴赫的音乐充斥着规则和秩序,规则并非教条,秩序来自热忱。在克腾时他完成了《平均律钢琴曲集》上卷,在莱比锡完成了下卷。声部间的回转、穿插、分离和并流,每个细节都十分妥帖,犹如巴洛克建筑中几何曲线的弧度或廊柱上的涡旋数目,似乎也印证了毕达哥拉斯的“万物皆数”。可以这么说,巴赫的作品是如此精确,一个音符也无法改动。19世纪英裔美国数学家西尔维斯特(JamesSylvester,1814—1897)说过:“难道不可以把音乐描述为感觉的数学,而把数学描述为理智的音乐吗?”

巴赫«哥德堡变奏曲» 中的咏叹调,显示他对修饰音的嗜好

在巴赫之后,莱比锡这座音乐名城,还出现过门德尔松、舒曼和克拉拉夫妇等音乐家。诗人歌德很喜欢莱比锡,称它为“小巴黎”。这里街道整洁,商业繁华,是世界闻名的博览会城、书城和音乐城。每年春、秋两季都有国际博览会在此举行。1481年,欧洲第一本活字印刷书籍在莱比锡问世,之后它一直是德国出版业中心,莱比锡书展名闻遐迩。高斯的《算术研究》在此初印,巴赫未完成的《赋格的艺术》也在这里出版。1843年,门德尔松创建了德国第一所音乐学院——莱比锡音乐学院,并亲自担任院长,应邀前来执教的有作曲家舒曼,他本人出生在莱比锡附近的一座小镇,他的钢琴家夫人克拉拉也是莱比锡人。莱比锡还有著名的格万特豪斯交响乐团,已有200多年历史。

克拉拉与舒曼

维也纳古典乐派(www.xing528.com)

说到德意志音乐,还有不能不提及的三位作曲家海顿、莫扎特和贝多芬,他们属于另一座说德语的名城——奥地利公国首府维也纳,被尊称为维也纳古典乐派的奠基人。这三人除了贝多芬以外,其余两位均为奥地利人,而贝多芬自从22岁开始,也一直定居维也纳。不过,他们三位的创作均或多或少地受到巴赫的影响,虽说巴赫的复兴是在他们去世多年以后。说到奥地利,自中世纪后期到“一战”结束以前,它都是欧洲大国之一,是统治中欧近七个世纪的哈布斯堡王朝所在。19世纪的德意志联邦也是以奥地利帝国为首,在普奥战争(1866)中战败以后,奥地利又迅速联合匈牙利成立了奥匈帝国。

海顿肖像(１７９１)

1732年,海顿(JosephHaydn,1732—1809)出生在奥地利南方靠近匈牙利边境的一座村庄,自幼就显示出异常的音乐天赋。一位在唱诗班任指挥的表兄成为海顿的启蒙老师,他在教堂学会了各种乐器和音乐基础知识。八岁那年,他便到维也纳的圣斯蒂芬大教堂唱诗班任歌手,直到九年以后因为变声被辞退。之后,海顿幸运地引起一位意大利作曲家的注意,后者邀请他担任声乐课的伴奏,并为他修改音乐习作,后来又把他引荐给一位贵族赞助人,顺利地走上了音乐之路,直至担任奥地利最富有、最有权势的家族的亲王府音乐总监。他的两次英国之行都十分成功,并被牛津大学授予荣誉博士头衔。

海顿的音乐幽默、明快,含有宗教式的超脱,有时富有旋律优美的抒情色彩,这与他的人生较为顺利有关。他将奏鸣曲式从钢琴发展到弦乐重奏,是器乐主调的创始人。他用弦乐四重奏代替钢琴,用管弦乐代替管风琴,创造了两种新型的和声演奏形式。海顿被誉为“交响乐之父”,他的一生极其多产,包括108部交响曲、68首弦乐四重奏,还有约20部歌剧、14首弥撒曲和6部清唱剧。他是世界音乐史上影响巨大的重要作曲家,维也纳古典乐派的第一位代表人物。海顿作曲的《神佑弗兰茨皇帝》曾被用作奥地利国歌长达一个多世纪,现今的德国国歌《德意志之歌》正是他作曲的《皇帝奏鸣曲》。

莫扎特肖像(约１７８０)

1756年,巴赫去世五年以后,莫扎特(WolfgangMozart,1756—1791)出生在奥地利的萨尔茨堡。他是位音乐神童,三岁即能辨认拨弦键琴上的和弦,四岁会弹奏短小的乐曲,五岁会作曲。六岁那年,莫扎特和姐姐随父亲去慕尼黑,在巴伐利亚宫廷演奏,随后又去维也纳,在皇宫和贵族宅邸演奏。父亲认定儿子是“上帝赐予萨尔茨堡的奇迹”,深感自己责任重大。翌年,身为萨尔茨堡亲王乐队副队长的父亲获准请假,带着一双儿女周游列国,巡回演出,历时三年有余。除了德意志诸名城以外,他们还造访了布鲁塞尔、阿姆斯特丹、巴黎(在那里过冬)、伦敦(逗留了15个月)和瑞士。许多时候,小莫扎特会即兴演奏自己写的曲子。在伦敦,莫扎特遇到了巴赫的小儿子,受其影响,创作了最初的几部交响曲。那以后,莫扎特的旅行持续不断,他作为一位伟大作曲家的前途一片光明。

25岁那年,莫扎特坚决辞去萨尔茨堡宫廷的职位,移居维也纳,成为欧洲历史上第一个自由作曲家。之后,莫扎特的生活并不尽如人意,但生活的磨难对他的思想和创作产生了深刻的影响。在维也纳的最后十年是他创作生涯最成功的,完成了三部歌剧《费加罗的婚礼》《唐璜》和《魔笛》,以及未完成的《安魂曲》。32岁那年,莫扎特在不到两个月的时间里完成了三部伟大的交响曲(39—41)。诚如法国作家罗曼·罗兰所言,莫扎特的音乐是生活的画像,但那是美化了的生活。他的激情、他的优雅、他的亢奋、他的得意,都是无与伦比的。莫扎特是人类历史上两三位最伟大的作曲家之一,而在公众的爱慕度方面,则没有任何一位作曲家能够胜过他。

贝多芬肖像(１８２０)

最后,我们来说说享有“交响乐之王”“乐圣”之誉的贝多芬。贝多芬(LudwigvanBeethoven,1770—1827)出生在波恩,当时波恩是科隆大主教区的首府,后来成为联邦德国首都。贝多芬的家族祖先来自佛莱芒,也就是低地国家。他的祖父因入选科隆大主教兼选帝侯的唱诗班歌手而迁居波恩,之后担任乐正。他的父亲却沉沦酒精,因此在祖父过世后家道沦落。作为长子的贝多芬11岁不得不辍学,18岁开始承担起养家糊口的责任。贝多芬17岁第一次去维也纳,见到了莫扎特,后者赞扬了他的弹奏技术。三年后,海顿去伦敦途中经过波恩,贝多芬得以结识海顿。两年以后,在海顿的鼓励下,22岁的贝多芬移居维也纳。

比起其他任何一位作曲家来,贝多芬的作品更能证明,音乐具有不借助语言文字而能表达人生哲学的力量。在他的某些作品中,还可以看见那种非常强烈的对人类意志的肯定。他生命的最后十年,在完全耳聋的情况下与命运进行了抗争,犹如失明后的巴赫或欧拉。贝多芬终身未婚,但他的情感经历异常丰富。他最了不起的成就恐怕是,把一向认为次于声乐的器乐提升到音乐乃至整个艺术的最高层次,如同在牛顿和莱布尼茨引领下,分析学被提升到与几何学和代数学同等重要的地位。贝多芬的交响曲《英雄》《命运》《田园》和《第九》,更是登峰造极之作,其中《第九》交响曲第四乐章加入了大型合唱《欢乐颂》,堪称人类发出的最宏伟最崇高的声音。

欧拉或尾声

在所有数学家中,瑞士人欧拉(Leonhard Euler, 1707—1783)最有可能见过巴赫。这得从普鲁士王国的第三位国王腓特烈二世,即著名的腓特烈大帝(1712—1786)说起,他是欧洲开明专制的代表人物,在位期间提升了普鲁士的国力,使其成为欧洲大国,享有“德意志之父”的美誉。腓特烈二世不仅是卓有成就的政治家和军事天才,还是多才多艺的作家和作曲家。除了母语德语以外,他还会说法语、英语、意大利语、西班牙语和葡萄牙语,能听懂拉丁语、希腊语和希伯来语,晚年还学习了斯拉夫语、巴斯克语和汉语。在艺术领域,这位国王的兴趣也很广泛,亲自设计了波茨坦无忧宫的草图并请来名建筑师,收藏了许多珍贵的名画。特别地,他吹得一口好长笛,并擅长作曲。

腓特烈二世登基当年,即1740年,他便邀请欧拉来普鲁士,其时欧拉在圣彼得堡生活了13年,后来他在普鲁士科学院工作了25年。1750年,法国作家伏尔泰也来到普鲁士,他在柏林和波茨坦逗留了近三年,起初颇为陶醉。后来,伏尔泰遭遇了许多不愉快,甚至与欧拉也有过口角。伏尔泰不辞而别后,一度被软禁在法兰克福的一家旅店。巴赫来普鲁士比伏尔泰要早三年,其时他的三儿子埃马努埃尔担任宫廷合唱队的指挥,国王通过小巴赫发出邀请。1747年5月7日,当62岁的老巴赫终于到来时,国王正准备开始他的长笛演奏会。他闻讯大喜,当即放下长笛,传令召见来不及更衣的巴赫。当晚国王终止了演奏会,领着巴赫参观他收藏的各种名贵古钢琴。

 门采尔油画《无忧宫中的长笛演奏会》(1852),吹长笛和弹钢琴的分别是腓特烈二世和巴赫

随后,腓特烈二世在一架钢琴旁边坐下,即兴弹奏了一段自己谱写的旋律,希望巴赫能将其改编成一首三声部赋格曲。虽然这段旋律不规则,但巴赫仍完成了任务,充分展示了即兴作曲和演奏的高超技艺。同时,巴赫对于国王的音乐天才也表示赞赏,国王希望他能用同样的主题谱写一首六声部赋格曲,巴赫回答说那需要时间。果然,返回莱比锡不到两个月,巴赫完成了一部作曲集,连同一封虔诚的信函寄给了腓特烈大帝。此即《音乐的奉献》,其中包含了一首以长笛为特色的奏鸣曲(可以让国王展示他的技艺)和十首卡农。那会儿,距离他生命的终点只有三个年头了。

卡农(Canon)是一种复调音乐,本意为“规律”。一个声部的曲调追逐着另一声部,直至最后一个音节,相互融合,给人以神圣的感觉和意境。声乐中的轮唱也是一种卡农。卡农最初出现并流行于英国,可能是民间的狩猎曲。后来,卡农也被巴赫和贝多芬等作曲家采用。《音乐的奉献》中的第一首卡农又称“螃蟹卡农”,其特点是第一声部尾末九小节巧好是第二声部开头九小节的逆行(retrograde),这好比几何图像中的对称,据说适合在莫比乌斯带上实现。几何学或五线谱中的对称并不难识别,但在音乐中做到这一点很不容易,不仅要能倒过来演奏,同时还要和谐好听,只有巴赫那样的音乐大师才能做到。即便如此,听众也难以察觉,因为听觉对于逆行等技巧并不敏感,这也是现代主义音乐不易普及的原因。

巴赫的螃蟹卡农

除了逆行,音乐中还有移调、倒影,相当于几何学中的平移和中心对称(零点对称)。由于音乐是时间的艺术,一段旋律稍纵即逝,需要将其反复呈现,才能给听众留下深刻印象。可是,一成不变的旋律又容易让人厌倦,于是需要在重复中有所变化。也许因为巴赫的音乐长于重复和变化,尤其是复调,他才被称为“音乐家中的数学家”。而欧拉不仅是一位伟大的数学家、物理学家和天文学家,也是一位杰出的科普作家和音乐理论家,两者他都有著作传世。我们可以推想,假如欧拉在柏林或波茨坦见到巴赫的话,两人应该会有一番愉快而深入的交谈。

1726年,19岁的欧拉在故乡巴塞尔时,便在笔记本上列出一项题为“音乐理论体系”的写作计划,涉及单声部和多声部作曲,旋律与和声创作,以及舞曲曲式等。四年以后,欧拉在圣彼得堡完成了这部著作,但出版却要等到九年以后,即他应聘去普鲁士的前一年。书中欧拉首次指出了乐音体系中各个音阶之间存在着如他所描绘的网络关系。1736年,欧拉发表有关“哥尼斯堡七桥问题”的论文中,也有类似的由点和线组成的网络图。这篇论文被公认为图论研究的开山之作,同时也预示着拓扑学的诞生。有的学者因此认为,欧拉对音乐的研究在一定程度上帮助他开创了数学新领域。欧拉定义的网络关系即调性网络(德语Tonnetz,英语tone⁃network),如今仍应用于和声学的研究。

欧拉著作《音乐新理论的尝试》扉页（1739）

最优美的恒等式-欧拉公式

最后,我们来说说音名、八度和十二平均律。音名,可用CDEFGAB表示,它们对应着钢琴上的七个白键。每个音名都有频率,比如,中央音区A键频率是440Hz。除了这七个音,还有五个半音是黑键,共12个。人们通常在CDFGA前加升降号,如#C表示C和D音之间的半音。我们曾在第一章提到,八度是指两个音频率之间的二倍关系,把某个音升高八度,就是把这个音的频率加倍。说来有趣,人的耳朵天生对频率加倍的声音感到和谐亲切。一个音,比如C,升高或降低八度,还是C,因此我们需要说明是哪个音区的C。这样一来,就可以写全钢琴的88个音。

值得一提的是,每一段的CDEFGAB及其半音之间满足一种叫“十二平均律”的频率关系,即它们的频率形成等比级数,且首尾两音的频率比值为2。虽说巴赫的《十二平均律钢琴曲》如今是最广泛使用的钢琴教程,前文提及的音乐家黎曼也曾对十二平均律做过专门研究,20世纪的新黎曼音乐理论家又将十二平均律与欧拉的调性网络相联系,并涉及现代数学中的群论和环论方法,奥地利作曲家勋伯格也提出了十二音技术,但世界上第一个明确提出十二平均律,同时也精确地计算出上述等比级数公比的是我国16世纪的明代学者朱载堉,他是明太祖朱元璋的九世孙。朱载堉计算出的公比值是: