数学王子-卡尔·弗雷德里希·高斯的辉煌一生-哈茨山

大学城哥廷根

哥廷根又译作格廷根,是德国下萨克森州的大学城。哥廷根位于哈茨山西麓,小巧的莱讷河(Leine)流经此城。这条河流与欧洲鼎鼎大名的莱茵河(Rhine)发音是有些像,可是网页搜索“哥廷根”说是莱茵河的支流莱讷河流经此城就有些荒唐了。事实上,莱讷河流过哥廷根和汉诺威之后,向北注入阿勒尔河,阿勒尔河再向西北,在德国第二大港不莱梅东南注入威悉河。因此,莱讷河是威悉河支流的支流,却与莱茵河毫不相干。威悉河与莱茵河一样,是德国运输的大动脉,它们各自流入大西洋,前者入海处在德国境内,而后者是一条源自瑞士的国际河流,入海处在荷兰境内。

哈茨山(Harz)是德国中部名山,分开了易北河和威悉河,最高峰布罗肯峰海拔1142米,是德国北部最高峰,仅次于南部的阿尔卑斯山。哥廷根东郊往哈茨山的方向有一片很大的草地叫席勒草坪,是大学城里的人周末郊游踏青的好去处,只是我不知道他与剧作家席勒有何关系?如果以校友诗人海涅或者另一位大诗人歌德的名字命名更合适,后者曾经作为交换生从斯特拉斯堡来哥廷根度过一段时间。在18世纪中叶,哥廷根还有过名为“林苑诗派”(1740—1780)的文艺团体,林苑是哈茨山麓的一片森林,可见这座山给哥廷根人带来无数灵感。

哈茨山长约90公里,宽约30公里,虽然方圆面积只有在中国华北平原拔地而起的泰山的四分之一,但是很有灵气和人文气息。西南方的大学城哥廷根无疑是其中的佼佼者,它为德国培养了不计其数的天才人物和栋梁之材。安徒生对哈茨山一见倾心,海涅写过《哈茨山游记》,歌德也写过《东游哈茨山》,他的名作《浮士德》更是描绘了哈茨山一年一度的魔鬼狂欢节。书中写道:四月的最后一个夜晚,各地的魔怪和女巫汇集此山,他们登上班布罗肯峰,燃起盛大的焰火。在梅菲斯特的引领下,浮士德来到哈茨山,得以领略这一魔怪的盛会。今天,那里仍有女巫小径、女巫之城和女巫跳舞的广场等景点。

哈茨山的南边图林根州的小城爱森纳赫是有着“音乐之父”美誉的音乐家约翰·萨巴斯蒂安·巴赫的诞生地。这座城市的人民酷爱音乐,据说古城门上刻着“音乐常在我们的市镇中照耀”的字样,中世纪时吟歌者经常手执竖琴,在此吟唱诗歌并举行歌唱比赛,瓦格纳据此写下了名歌剧《唐·豪塞》。而哈茨山的北边,与爱森纳赫地理上对称的不伦瑞克,则是“数学王子”高斯的出生地。他们两人刚好是本章要介绍的中心人物,一个被赞为“音乐家中的数学家”,另一个的数学发现和理论有着音乐之美。

哥廷根的标志———牧鹅少女塑像

哥廷根最早见诸史册是在公元953年,1210年建市。13世纪逐渐形成的“汉萨同盟”在14世纪达到鼎盛时期,哥廷根是它的一个成员,一度十分繁荣。这个同盟以德意志北部为基地,先后有160多座欧洲城市加入其中,从伦敦到俄罗斯的诺夫哥罗德它都建立了商站,拥有武器和金库,几乎垄断了波罗的海地区的所有贸易。15世纪,汉萨同盟开始衰落,到1669年最后解体。今天,德国最大、世界第四大的航空公司仍叫Lufthansa,德文里的本意是“空中的汉萨”。

哥廷根虽说如今只是萨克森州的一个区,但在历史上却是汉诺威王国的组成部分,后者是德意志民族仅次于奥地利、普鲁士和巴伐利亚的第四大邦国。17世纪末,汉诺威成为神圣罗马帝国的选侯国,其国王(诸侯)奥古斯特一世成为第九个也是最后一个有权选举罗马皇帝的选帝侯。汉诺威也曾长期与北海对岸的英国联姻,并因对方无子嗣,连续五位国王移驾伦敦,兼任英国国王,包括乔治二世,正是他(受牛津和剑桥启发)下令创建了哥廷根大学,那是在1734年。可以说,哥廷根大学是“一夫一妻制”催生的,原本这项制度堪称“欧洲文明的产物”。

哥廷根的“肚脐”

起初,哥廷根大学以国王名字命名,叫乔治·奥古斯塔大学。建校40年以后,哥廷根学者云集,成了德意志学术、科学和文化的中心。而在高斯担任数学教授和天文台台长以后,哥廷根变成全世界数学家心目中的“麦加”。量子力学之父、物理学家普朗克(MaxPlanck,1858—1947)也曾长期执教哥廷根,直到逝世。他在德国科学界德高望重,被选为威廉皇帝协会会长。战后,为了纪念普朗克,威廉皇帝协会改名为马克斯·普朗克科学促进协会,中文简称“马普协会”,相当于其他国家的国家科学院,下辖50多个研究所。

数学王子

1777年4月30日,卡尔·弗雷德里希·高斯(CarlFriedrichGauss,1777—1855)出生在下萨克森州不伦瑞克市郊外,如今那里已是市区。他的家庭世代务农,父亲是位普通劳动者,做过石匠、纤夫和花农。与牛顿一样,高斯家族里没有出过一个出类拔萃的人。高斯的母亲34岁出嫁,是她丈夫的第二任妻子,做过女仆,没受过教育。她甚至把独生儿子的生日都给忘了,只记得是礼拜三,在耶稣升天节(复活节40天以后的第一个星期四)前八天,高斯的生日是他后来自个儿算出来的。

高斯肖像(１８４０)

与牛顿一样,高斯也有一个懂事理的舅舅,他是个技艺娴熟的纺织工人,能织出最好的锦缎。他最早认识到外甥的优异天赋,高斯的母亲也因此对儿子抱有很大的期望。高斯两岁时,便发现了父亲账簿上的一处差错。九岁那年的一个故事尽人皆知,小学老师为了让班上的孩子有事做,让他们从1加到100,高斯几乎立刻得到了正确答案:5050,却没有验算过程,因为他在头脑里把头和尾的数依次组对相加,得到50对和为101的数。高斯在晚年甚至宣称,他在学会说话之前,就学会计算了,还说他问了大人如何发音,就能自己学着看书了。

高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵费迪南的注意,这位公爵的名字也叫卡尔,高斯14岁时第一次见到了他,高斯的朴实和羞怯赢得了公爵的心,他决定资助这个孩子。第二年年初,高斯进了卡洛琳学院(现不伦瑞克技术大学),三年后,18岁的高斯进了哥廷根大学,开始了他极其辉煌的一生。就在上大学的那年,高斯发明了最小二乘法,这是一种简便的计算法,可以快速求得未知的数据,使它们与实际数值之间误差的平方和最小。高斯后来把这一方法用于大地测量学,并帮助找到人们普遍关心的第一颗小行星,后一项工作使得高斯的声望超出学术圈,成为公众人物。这项工作是高斯对观察误差理论感兴趣的开始,如今,高斯正态分布及其钟形的曲线是被广泛应用的统计学的标志性成果。

1796年3月30日,当高斯差一天满19岁的时候,他对正多边形的欧几里得作图理论(只用圆规和直尺)作出了惊人的贡献,发现了它与费尔马素数之间的秘密关系。特别地,他给出了作正17边形的方法,从而解决了有着2000多年历史的数学悬案。仅仅九天以后,高斯便发展了同余理论,首次证明了二次互反律,即对于任何不同的奇素数p和q,均有:

此处(—)是勒让德符号,这个具有对称之美的计算公式被高斯视为“算术的宝石”,这样一来,就彻底解决了二次同余式的可解性判断问题。一个月以后,高斯给出了被后人称为素数定理的猜测,设不超过x的素数个数为π(x),则它的近似值是:

这个猜想直到100年以后才被两位法国数学家独立证明,轰动了世界,并被誉为“19世纪的数学成就”,正如费尔马大定理的证明被视作“20世纪的数学成就”。又过了50年,一位挪威数学家和一位匈牙利数学家用初等方法各自给出新的证明,他们分别获得了菲尔兹奖和沃尔夫奖。

1796年是高斯的奇迹年,从发现正17边形的作图方法那天开始,高斯用极其简单的方式记日记。那年7月10日,他的日记只有一行:

意即每个正整数均可表示成三个三角形数之和,这是17世纪法国数学家费尔马的猜想。形数是古希腊数学家毕达哥拉斯学派定义和研究的对象,三角形数是指可以排成三角形状的整数,0,1,3,6,10,15,21,28……保龄球的木瓶(10个)和斯诺克的目标球(21个)排列均为三角形数。不难推出,这个问题等价于,形如8n+3的奇数可以表示成三个正整数的平方和。例如:

3=12+12+12,11=12+12+32,

19=12+32+32,27=12+12+52。

与其他历史悠久的问题一样,要想证明这个看似简单的猜想很不容易。年轻的高斯做到了,Eureka(找到了)正是阿基米德在浴缸里悟出浮力定律时说过的话。(www.xing528.com)

高斯«算术研究» 初版(１８０１)

1801年,24岁的高斯出版了《算术研究》,费迪南公爵资助了印刷费。法国大数学家拉格朗日(JosephLangrange,1736—1813)在巴黎读到后立刻致函祝贺,“您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家”。后辈德国同胞克罗内克(LeopoldKronecker,1823—1891)则赞其为“众书之王”。翌年,高斯当选圣彼得堡科学院外籍院士,四年以后,他被哥廷根破格提拔为教授并担任天文台台长。而在那个世纪的末端,德国数学史家莫里茨·康托尔(MoritzCantor,1829—1920)写道:

《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作,这给科学带来的好处是,他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要。他的出版物就是法典,比人类其他法典更高明……

就像莫扎特一样,高斯年轻时风起云涌的奇思妙想使得他来不及做完一件事,另一件又出现了。更难能可贵的是,高斯初出茅庐,就已经炉火纯青了,而且以后的50年间,一直保持这样的水准,他在数学、物理学和天文学等诸多方面都有非常重要的贡献。与艺术家一样,高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品,任何丝毫的改变都将破坏其内部的均衡。他喜欢说的一句话是:“当一幢建筑物完工时,应该把脚手架拆除干净。”高斯十分讲究逻辑结构,他希望在每一个领域中,都能建立起普遍而一致的理论,从而将不同的定理联系起来。鉴于这个原因,高斯并不总是很乐意公开发表他的结果。他的著名警句是:“宁肯少些,也要成熟。”

这样一来,高斯也有所失去。比如,他最重要的数学发现之一是建立非欧几何学,但他担心会引来非议,故而迟迟没有发表,最后是与两位晚辈数学家——俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶分享荣誉。高斯的另一项几何学成就是内蕴微分几何,也没及时发表,后来他与法国数学家博内分享荣誉。高斯在研究曲面测地学时,证明了测地线构成的三角形上的著名定理:设K是曲面上的可变化的曲率,则该曲率函数在三角形A上的积分为:

此处α1、α2、α3为测地三角形的三个内角值。由这个公式可见,三角形的内角和并不总是等于π(180度)。这便是著名的高斯-博内公式。我国数学家陈省身最重要的工作正是给出了高维(偶数维)黎曼流形上高斯-博内公式的内蕴证明。

高斯所处的时代,正是德国浪漫主义盛行的时代。高斯受时尚的影响,在其私函和讲述中,充满了美丽的辞藻。高斯说过:“数学是科学的皇后,而算术(数论)是数学的女王。”那个时代的人们也开始称高斯为“数学王子”。有意思的是,高斯留下来的几幅肖像画也颇具王者之气。高斯曾谈道:“任何一个花过一点功夫研习数论的人,必然会感受到一种特别的激情与狂热。”在他心目中,数学尤其是纯粹数学,也像文字、音符和图像一样,具有一种不可抗拒的美。这也是为何他要放弃早年喜爱的语言学,转向数学研究。与帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨这几位前辈同行不同,他们都在晚年转向哲学或宗教研究,高斯终其一生不需要这些,可能在他的心目中,已经有了最纯粹、最本质的艺术——数学。特别地,他本人的数学发现和理论简洁、抽象而深刻,有着音乐之美。

哥廷根学派

高斯对数有着非凡的记忆力和洞察力,在数学领域他既是一个深刻的理论家,又是一个杰出的实践家。可是,高斯却非常讨厌教学,因此他只有少数几个学生。高斯去世以后,他的学生还没有人有足够的影响力,能够继承他的职位。最后,从柏林大学聘请来了狄里克莱(PeterDirichlet,1805—1859),早年他因为高斯的冷漠而留学巴黎。狄里克莱最为人称道的研究成果是证明了算术级数上存在无穷多的素数,为此他引进了狄里克莱特征,把素数从自然数中分离出来。

著名的狄里克莱L函数即建立于这一特征之上,这个函数贯穿于解析数论和如今赫赫有名的朗兰兹纲领。值得一提的是,狄里克莱夫人是音乐家门德尔松的妹妹,擅长演奏哥哥的钢琴曲。遗憾的是,比高斯年轻28岁的狄里克莱继承高斯的职位仅仅四年,便随因中风病故的夫人而去。这一回,轮到高斯最得意的学生黎曼继承数学教授职位了,他同时也担任了哥廷根天文台台长。

哥廷根天文台, 高斯和黎曼都曾在此居住,作者摄

黎曼(BernhardRiemann,1826—1866)是高斯之后德国最伟大的数学家,也是有史以来最伟大的数学家之一。比黎曼稍晚的还有一位叫黎曼的德国音乐学家,他的和声学著作被认为是现代音乐理论的基础,他也是哥廷根大学的博士,后来执教于著名的莱比锡音乐学院。可是,音乐家的黎曼名声远远被数学家的黎曼盖过去了,如果网搜Riemann,几乎全是数学家黎曼。黎曼的工作广泛地影响着几何学、分析学和数论等领域,他关于时空几何的独具胆识的思想,堪称天籁之声,对近代物理学的发展有着深远的影响,在很大程度上为爱因斯坦广义相对论的理论和方法提供了坚实的基础。

哥廷根数学所走廊里的黎曼像

遗憾的是,黎曼因为从小营养不良导致体弱多病,不到40岁即患肺结核,在意大利北部的塞拉斯加疗养地去世。由于黎曼没有指导过任何学生,哥廷根数学的接力棒在他那里暂时被搁置了。直到26年以后的1895年,希尔伯特出任哥廷根数学教授,情况才出现转机,那一年刚好是高斯初到哥廷根100周年。哥廷根迎来崭新的时代,虽说希尔伯特的个人成就并没有超越高斯或黎曼,但是他作为“数学领域最后一个百事通”,加上他开放的个性和领导者的风范,以及他与师爷(导师的导师)菲利克斯·克莱因的精诚合作,终于建立起了20世纪最著名的数学学派——哥廷根学派。

哥廷根数学研究所

1862年,希尔伯特(DavidHilbert,1862—1943)出生在东普鲁士港口城市哥尼斯堡郊外,如今属于俄罗斯的一块飞地(也是面积最小的一个州),并早已更名为加里宁格勒,它的周围是波兰、立陶宛和波罗的海。虽说哥尼斯堡最伟大的公民是哲学家康德(他的一生都在这座偏远小城度过),可是却与数学结下不解之缘。普莱格尔河快到入海处时流经此城,河上的一座岛屿与两岸(实为三岸,因为是两河汇合处)有七座桥相连,于是产生了一个著名的数学问题,假设一个人每一座桥只能经过一次,能否把所有桥走遍而回到原地?这个看似简单的数学问题其实并不容易,后来被远在他乡的数学家欧拉给解决了。欧拉持之以恒的通信者哥德巴赫(ChristianGoldbach,1690—1764)也是哥尼斯堡人,而引导希尔伯特走上数学之路的则是同城一位比他大两岁的男孩闵可夫斯基(HermannMinkowski,1864—1909),他是爱因斯坦的大学数学老师,后来与希尔伯特相聚于哥廷根。

希尔伯特头像,作者摄于哥廷根

1884年,希尔伯特在故乡的哥尼斯堡大学获得博士学位,后留校任教,九年以后他晋升为教授。希尔伯特在大学期间,就因为表现优异去过许多城市游学,包括莱比锡、柏林和巴黎,结识了那些地方的数学前辈和同行,诸如庞加莱、克莱因、若尔当、埃米尔特和克罗内克等大家,这为他后来在哥廷根招募各路英才、竖起一面数学大旗打下了良好的基础。1900年,希尔伯特应邀在巴黎国际数学家大会上做了题为“数学问题”的特邀报告,列举了23个数学难题,涉及那个年代几乎所有的研究领域,并由此对20世纪的数学发展产生了巨大影响。

希尔伯特之墓,作者摄于哥廷根

希尔伯特众多的杰出弟子中,我们不得不提及外尔(HermannWeyl,1885—1955)和库朗(RichardCourant,1888—1972),两人前后相隔两年获得博士学位。外尔主要研究几何学和物理学,同时在哲学领域也颇有建树,这三方面他都受到老师的熏染。外尔曾这样称颂恩师:“他吹奏出了甜蜜的芦笛声,诱惑许多老鼠追随他跳入数学的深渊。”希尔伯特退休时,外尔回到母校接替恩师,后来战争的阴云笼罩欧洲,他去了美国,加入刚组建的普林斯顿高等研究院,帮助后者取代哥廷根,成为世界的数学中心。而库朗读书时便是导师的助理,帮助处理一些行政事务,后来他去了纽约大学,受命组建如今以他命名的库朗数学研究所。这两处地方加上陈省身(1911—2004)建立的伯克利数学研究所,堪称西半球三大数学圣地。陈省身虽说没有在哥廷根求过学,却也是在德国(汉堡大学)获得博士学位,并且与外尔亦师亦友。

前文提到,由于德国冬天漫长、天气寒冷,人们在家里的时间比较多,他们善于独立思考和抽象思维,在数学、音乐和哲学领域都产生了许多杰出的人物。不仅如此,德国数学家和音乐家大多富于哲学思想或思辨能力。例如,数学基础有三大哲学流派,除了逻辑主义是由英国数学家罗素创立以外,直觉主义和形式主义都有德国人参与,克罗内克和外尔是直觉主义的先驱和骨干,而希尔伯特提出了形式主义的纲领。克罗内克在柏林大学获得博士学位后曾经有八年时间回故乡经营家族企业,后来回母校义务任教,他曾婉谢去哥廷根继任黎曼的职位。克罗内克的名言是:“上帝创造了整数,其余都是人造的。”