微积分的诞生
微积分的诞生是划时代的数学成就,它是人类文明史上最伟大的智力成就之一。在那以前,数学在西欧各国也至多只是哲学系的一个专业,而哲学系通常是在神学院里。随着微积分的诞生,以及接下来的分析时代的到来,数学的作用越来越大,与自然科学、工程技术,甚或人文社会科学的联系越来越密切。数学教师的工作岗位大幅增加,数学作为大学里独立的一个系指日可待。
微积分中第一个重要的概念是极限(limit)。早在古希腊时期,安蒂丰(Antiphon,约前480—前411)就在几何学的研究中运用了极限的概念,他把正多边形内接到圆中,随着边数的成倍增加,正多边形的面积越来越接近圆的面积。类似地,圆的外切正多边形的面积,当边数增多时,其极限也趋向于圆的面积。
在中国,3世纪魏晋时期的数学家刘徽(约225—约295)同样也用内接正多边形逼近圆,并称之为割圆术,用以计算圆的周长、面积和圆周率。刘徽在《九章算术注》里写道:
割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。
5世纪南朝数学家祖冲之(429—500)继承了刘徽的事业,他把圆周率精确计算到小数点后七位,这记载在史书《隋书》中。他一直保持这个记录,直到15世纪才被阿拉伯数学家卡西(al⁃Kāshī,?—1529)打破(利用了余弦函数的半角公式)。由于祖冲之本人的著作已经失传,我们不知道他的计算方法。一般认为,他沿用了刘徽的割圆术。如果真是这样,他必须得计算到正24576(=6×212)边形,才能获得上述数据。
有了极限以后,下一步就是发明微积分学。到了17世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题促使微积分学的诞生。归结起来,有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候出现的,也就是求即时速度和加速度。第二类问题是求曲线切线的问题,这是几何学的需要。第三类是求函数的极大值和极小值问题。第四类问题是求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心,等等。
总体来说,割圆术是离散的方法,无论阿基米德还是刘徽都只用了数列的极限。要产生微积分,还需要一个基本的概念——函数。函数是有关变量之间的一种相互关系,这是数学家从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出来的,这个概念在几乎所有的数学研究中占中心位置。紧接着函数概念的出现,便产生了微积分,它是继欧几里得几何之后,全部数学中一个最大的创造。
下面来介绍微分学和积分学的产生。微分学即导数,1664年,当牛顿还是剑桥大学三一学院的研究生时,学校因为鼠疫停课了,且一停就是两年。牛顿回到自己的家乡伍尔索普,在这两年期间,他发现了著名的万有引力定律、微积分以及光的分解和折射理论。依照参加过牛顿葬礼的法国启蒙主义思想家伏尔泰(Voltaire,1694—1778)的描述,牛顿是在农庄的一颗苹果树下获得灵感的。当苹果坠落时,愈落愈快,故而除了速度还有加速度,牛顿希望利用数学公式来解释和表达这一现象。
假设苹果从A点开始坠落,在时刻t到达B点,A、B两点之间的距离为s;再经过一点点时间Δt,苹果又下落了一点点距离到达C点,设B、C两点之间的距离为Δs,这里Δ为希腊字母。B点的速度非常接近于Δs除以Δt的商,即比率Δs/Δt。而当Δt趋于零时,下列比值的极限即为苹果到达B点的精确速度:
我们把上述极限记作
,此即为s关于t的变化率或导数。与此同时,我们也可以把ds和dt当作单独的数来进行计算,并认为它们的比就是速度v。如此一来,我们分别把ds和dt叫作s的微分和t的微分。正如速度是距离关于时间的导数,加速度就是速度关于时间的导数。若设a是B点的加速度,则有:
其中Δv是v在BC段得到的一点点速度增量。考虑到a是v的导数,v又是t的导数,那么a就是t的二阶导数。
为求取s关于t的导数,首先得知道s关于t的函数。通常,这由联系s与t的公式来给出。当t变化时,s也跟着变化,它们都是变量。微积分学中研究导数的部分称为微分学,它在科学和工程技术领域里作用不小,其中一个非常重要的应用是求极大值和极小值问题。例如,当材料的长度给定时,求依墙而建的最大面积的猪栏的尺寸大小;或当体积给定时,求表面积最小的柱形罐头的尺寸大小。
现在我们来谈谈积分学。如上所述,给定了时间t的函数s,可通过求得它的导数来获得速度v。但是,有时候又需要通过v来求取s,即s的“反导数”。这个问题的另一种说法是:已知v=ds/dt,即ds=vdt,要从ds求取s,即求ds的“反微分”。
通常,我们称“反微分”为积分,用拉长的s(sum,求和)记号
来表示,即:
积分学的一个重要应用在于,求取诸如把曲边梯形面积分解成许多小矩形面积的小量之和的极限,它可以用来求取面积、体积和曲线的长度,等等。
微积分学的创立,极大地推动了数学的发展。以往有许多用初等数学无法解决的问题,运用微积分学往往能迎刃而解,显示出这门新学科的无穷威力。然而,任何一门新学科的创立都不是一帆风顺的,也往往不是某一个人的功劳,而是经过许多人甚至许多代人的努力,在积累了大量成果的基础上,最后才得以完成的。微积分学的建立也是这样。
如今,我们把微积分的发明归功于两个人,即英国人牛顿和德国人莱布尼茨。可是,当时在牛顿的支持者和莱布尼茨的支持者之间,却曾发生阻碍微积分发展几乎长达一个世纪的优先权之争。这场轩然大波也造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立,其结果是,英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥于牛顿的“流数术”而停步不前,因而数学发展落后了整整100年。
其实,牛顿和莱布尼茨是各自独立研究微积分,在相近的时间里完成的。牛顿创立要早十年左右,而莱布尼茨却早三年正式发表。他们的研究各有长处,也各有缺陷,都不尽完善。特别地,在无穷和无穷小量问题上含糊其辞,有时候是零,有时候是有限的小量,这导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪,才由法国数学家柯西和德国数学家维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass,1815—1897)进一步将其严格化,使极限理论成为微积分的坚实基础,才使其不断发展完善。下面,我们来分别介绍牛顿和莱布尼茨。
牛顿
1642年1月8日,伽利略在佛罗伦萨附近的阿尔切特去世。距离伽利略的第一个忌日差四天,即1643年1月4日(3) ,科学革命的顶峰人物、数学家兼物理学家牛顿(Isaca Newton,1643—1727)出生在英格兰林肯郡的伍尔索普。他是一个早产的遗腹子,父亲在他出生前三个月便已去世。牛顿出生时很瘦小,身体孱弱,但他却活到了84岁。后来,牛顿选择伽利略的研究方向,即用数学方法来研究运动的轨迹,并取得丰硕的成果。
牛顿肖像(1689)
牛顿两岁那年,母亲改嫁给邻村一位年老而富有的牧师,把他留给祖母抚养。母亲后来又生了两个孩子,在他十岁继父去世以前,母亲与牛顿几乎没有来往。这种幼时的创伤,通常会导致精神疾病。牛顿对继父十分厌恶,他入读剑桥时,有一次在礼拜堂向神父做忏悔,曾用速记列出自己的罪过:“我曾想放火烧死我的母亲和父亲,让他们葬身于烧毁的房屋。”我们可以推测,牛顿在科学方面创造性的探索和研究,很大程度上治愈了他的心理疾病。
小学毕业以后,牛顿到离家十多公里的小镇格兰瑟姆上中学。他以其机械和工艺才能以及实验手段留下一些轶事,他学会了制作钟、日晷、水车和风车等。回到村里,他制作的带有灯具的风筝使得容易轻信的村民颇为惊讶,能把麦子磨成雪白面粉的石磨则取悦了他们。此外,他还博览群书,并做了许多笔记。牛顿在中学里已熟练掌握了拉丁文,但在数学方面,尚停留在一知半解的水平。
母亲第二次孀居以后,决定将自己现有富足的家业交给大儿子牛顿管理。但是很快她就发现,这样对牛顿和家庭来说都是灾难,他不懂得农庄里的杂事,更不懂得管理,宁愿躺在苹果树下看书。幸好这个错误被及时纠正,他被送回到已经上过几年的中学继续学习,以便将来上大学。事实上,牛顿后来能上学费不菲的剑桥大学三一学院,得益于母亲的第二次婚姻和继父的突然去世,以及中学校长的不懈努力和见多识广的舅舅的建议。
牛顿在格兰瑟姆念书,以及后来为入剑桥准备的日子里,寄宿在药剂师克拉拉家里。一次他在房东的顶楼上意外地发现了一包旧书,贪婪地读完了它们。他还喜欢上克拉拉前妻的女儿斯托丽,在他18岁离开故乡去剑桥读书前夕,他们订了婚。斯托丽是牛顿一生唯一爱过的女人,虽然他一直对她怀有深厚的情意,但是离开故乡和日渐专注于研究工作,使这段爱情无疾而终。斯托丽后来嫁给了别人,而牛顿则终身未娶。
牛顿塑像,作者摄于剑桥大学三一学院
1661年,牛顿进入剑桥大学三一学院,由于中学曾辍学,他的年龄略大于同班同学。如今被称为“科学革命”的运动在那时已蓬勃地开展,从哥白尼到开普勒等天文学家完善了宇宙的太阳中心论。伽利略提出的基于惯性原理的自由落体运动定律,已成为新力学的基础。笛卡尔已开始为自然界提供新的概念和方法,他认为自然界是复杂的,不以人的意志为转移的。可是,包括剑桥在内的大学教授们却固守亚里士多德的顽固堡垒,仍坚持宇宙的地球中心论,只是从定性而非定量方面研究自然界。
与那个时代成千上万的其他大学生一样,牛顿在他的大学之初,也沉醉于亚里士多德的学说。但是后来,他从社会传闻中渐渐听说了笛卡尔的新哲学,它与亚里士多德的观点恰好相反,认为现实的物质世界是由运动着的粒子组成的,自然界的一切现象都是这些运动着的物质粒子的相互机械作用产生的。1664年的一天,牛顿在他的“问题笔记”上写道:“柏拉图是我的朋友,亚里士多德是我的朋友,但我最亲爱的朋友是真理。”可以说,牛顿的科学事业从此起步了。
虽说那时牛顿的“问题笔记”尚未出现数学,但他已经开始学习笛卡尔的《几何学》,领会用代数方法解决几何问题,之后他又转向欧几里得的经典几何学。不到一年,他已经掌握了几何学的精髓。当牛顿于1665年4月获得学士学位时,人们并没有意识到,这可能是高等教育史上最有效的学习过程。在没有任何导师指导的情况下,牛顿发现了新哲学和新数学,并把这些发现记载在笔记本上。
也正是在那一年,由于鼠疫(黑死病)导致了英国人口的大量死亡,剑桥大学放假了,并且一放就是两年。牛顿回到故乡伍尔索普,他待在家里,闲来无事,琢磨起微积分。牛顿通过研究第二运动定律中动量的变化率,发明了微分学和积分学,并建立了微积分学基本定理。他还研究圆周运动问题,应用于行星,导出了平方反比关系,即行星所受径向引力随其与太阳距离的平方而减少,后来被归纳为万有引力定律,这方面同时代的同胞物理学家胡克与他有优先权之争。
1667年,剑桥大学复课,牛顿回到母校,不久当选为三一学院研究员(院士)。两年以后,他的老师巴罗让出了卢卡斯讲座教授职位。之后,牛顿陷入了无休止的争论,这主要是因为他在光学和炼金术(化学)方面的一些发现。后来,在牛津天文学家哈雷的鼓励下,牛顿总结了自己在天文学和动力学方面的发现,写成巨著《自然哲学的数学原理》。1687年,哈雷出资将其出版。据说胡克希望牛顿能在书的序言里稍微“提一下”他的工作,结果被拒绝。
《原理》的出版,使得牛顿成为世界性的显赫人物。稍后当国王詹姆斯二世试图把新教氛围浓厚的剑桥大学天主教化,牛顿领导一批同事成功地进行了抵抗。这件事让牛顿与政界有了密切接触,1696年,他被任命为造币厂厂长,不过仍保留剑桥的职位。直到1701年,他才迁居伦敦。至此,他在科学方面的创造性工作基本结束。在伦敦,可能是童年忧郁症的又一次发作,牛顿再次面临精神崩溃的边缘,他主动写信给仅有的几位朋友声明绝交。
幸运的是,有两件事分散了牛顿的注意力。一是造币厂厂长(后来又晋升为造币局副局长、局长)的职位,这本是一份闲职,但牛顿却十分投入。除了铸造新币,他还积极识辨伪币,防止伪币流通,把多位伪币制造者送上断头台。二是在宗教和神学方面牛顿找到了感兴趣的事。例如,他发现《圣经》中三位一体的描述是经后人篡改的,并非原文,但牛顿只是将此发现告诉哲学家洛克,并未公开发表,因为他害怕争论。
伦敦威斯敏斯特教堂里的牛顿墓(www.xing528.com)
在《原理》这本书里,牛顿虽然赋予上帝创世之功,但却限制了上帝在日常生活中的作用。事实上,由于理性地位的提高,人们对上帝的信奉不再那么虔诚。正如柏拉图相信上帝是一位几何学家,牛顿也认为上帝是一位优秀的数学家和物理学家。牛顿力学对传统神学世界观的冲击,助长了一种新兴的神学或哲学观点——自然神论。“神创造了这个世界却不照管护理,任其发展。”对于自然神论的信徒来说,自然就是上帝,而牛顿的《原理》就是《圣经》。
莱布尼茨
牛顿出生三年后,在英吉利海峡和北海的另一边,全才的德国人莱布尼茨(Gottfried Leibniz,1646—1716)降生在莱比锡。他是一位柏拉图主义者,一位举世闻名的数学家和哲学家,也是一位训练有素的律师;他是政治活动家、职业外交官,也是矿业工程师和发明家,还是一位历史学家和图书馆长。所有这些头衔,构成了他极不平凡的一生,但他本质上仍是孤独的。
有一套由六卷组成的莱布尼茨的部分著作,说明了他广博的兴趣:
神学
哲学,及其在科学方面的工作
数学
中国历史和哲学
外交
语言学和词源学论文
相比牛顿,莱布尼茨的家庭绝对是书香门第。他的父亲是莱比锡大学的哲学教授,老年得子,在他六岁那年去世。随后,他的母亲致力于培养和教育唯一的儿子和他的姐姐。八岁那年,莱布尼茨便能阅读一位寄宿生留下的拉丁文著作。不仅如此,他还认真浏览了父亲留下的许多著作。莱布尼茨后来声称,他是通过自学得以成才的。
莱布尼茨肖像(1695)
莱布尼茨15岁进入父亲任教过的莱比锡大学学习哲学,后来又选修了法学。他开始接触到近代哲学(当时来说应是当代哲学),随后必须得在近代哲学与以他在中学时代颇感兴趣的亚里士多德逻辑学为代表的经院哲学之间进行选择。在莱比锡一座公园散步时,莱布尼茨做出决定,毅然决然地选择了近代哲学。为此,他必须得学习和研究数学。
20岁那年,莱比锡大学以莱布尼茨过于年轻为由,拒绝授予他法学博士学位。而按照黑格尔的说法,莱布尼茨被拒绝是因为他的知识过于渊博。之后,他转学到纽伦堡的阿尔特多夫大学,翌年在那里通过了博士论文答辩,论文的题目是《论法律中的一些棘手案例》。但是,当阿尔特多夫大学提供莱布尼茨教授职位时,他并没有接受,而是另有选择。
原来那年早些时候,莱布尼茨遇见了美因茨选帝侯的首相博因堡男爵,年轻的莱布尼茨给男爵留下深刻而美好的印象,被邀请去担任选帝侯的法律顾问助手,同时担任男爵的图书馆馆长。从那以后,莱布尼茨一生都为贵族或君主工作。那段时间里,莱布尼茨写作并出版了不少法律和哲学方面的论著,还按照内容为男爵的藏书编写了书目,并出版了一本《物理学新假说》的著作。
除此以外,莱布尼茨还与全欧洲数以百计的智士仁人建立了通信联系,更为可喜的是,他还有保存来往信件的癖好,共有1500多封信被他保存下来。这些信件和他的私人笔记,成为后人研究他的哲学思想的重要宝库。那时法国是欧洲的主要力量,德国却被分成数百个小邦国。选帝侯和男爵担心法国会侵犯美因茨,莱布尼茨便建议向路易十四进献计谋,让他去攻打埃及,以分散其注意力。结果计谋被采纳,莱布尼茨被派往巴黎。
正是在巴黎的四年里,莱布尼茨完成了包括微积分在内的数学发现。这让作者想起南宋数学家秦九韶,他在湖州三年丁忧期间,写成了《数书九章》,包含了闻名遐迩的中国剩余定理和秦九韶算法。在莱布尼茨抵达巴黎之初,他的数学基础尚显薄弱,那时德国的数学也远远落后于法国。幸好他遇见荷兰来的数学家兼物理学家惠更斯,莱布尼茨虚心地向他学习,潜心研究,而对他赴巴黎的初衷并不用心,也没有结果。
第二年年初,莱布尼茨被派往伦敦,陪同在那里访问的选帝侯侄儿。他带去自己发明的一台可以做乘除计算的机械计算机,让数学同样落后的英国人大开眼界,也因此他被聘为英国皇家学会外籍会员。在此之前,法国人帕斯卡尔发明了可以做加减运算的计算机。与帕斯卡尔帮助税务员父亲的目的不同,莱布尼茨制作计算机的动力来自于霍布斯,这位英国哲学家曾说过,一切推理皆计算。
在伦敦旅行期间,莱布尼茨还发现了一个数学奥秘,就是用无穷级数表示圆周率,他得到了:
=1-
+
-
+
-
+…
有了这一公式,自古以来关于圆周率精确值的人为计算竞争就结束了,这方面祖冲之曾领先世界900多年。
不幸的是,莱布尼茨的英伦之行因选帝侯的突然去世告终。在此以前,博因堡男爵也已病故,他在一个冬天里失去了两位赞助人。莱布尼茨返回巴黎,又逗留了三年,男爵夫人(可能还有选帝侯的继承人)对他仍有资助。正是在此期间,莱布尼茨完成了微积分学的发明。虽说那时笛卡尔和帕斯卡尔均已过世,但他却有机会接触到他们未发表的手稿。
事实上,莱布尼茨和牛顿是各自独立发明微积分的。牛顿使用的“流数法”有运动学的背景,其推导更多是属于几何学的;而莱布尼茨则受到帕斯卡尔的特征三角形的启发,他的论证更多地应用了代数学的技巧。相比牛顿,莱布尼茨对数学形式有着超人的直觉,这使得今天的微积分学教程大多采用莱布尼茨的表述方式和符号体系,包括下列的微积分学基本定理(牛顿-莱布尼茨公式):
发明微积分以后,莱布尼茨不再把时间和空间看作实体,这使得他又向单子论跨进了一步。莱布尼茨认为,宇宙由无数与灵魂相像的单子组成,单子是终极的、单纯的、不能扩展的精神实体,是万物的基础,这就是他著名的单子论。这意味着,人类与其他动物的区别只是程度上的不同而已。他的哲学成就还包括逻辑学和形而上学,这方面他成功地把亚里士多德的学说推进到了近代。
此外,莱布尼茨还发现了二进位制,他用0表示空位,用1表示实位,这样一来,所有的自然数都可以用这两个数的组合表示。可惜的是,他没能或无法把二进制用到他发明的乘法计算机上去。莱布尼茨还创立了优美的行列式理论,并把有着对称之美的二项式理论推广到任意个变数上。他还发现了拓扑学的基本原理,称之为位置分析,这对后来非欧几何学来说非常重要。
在莱布尼茨众多的通信对象中,有一位来自英国,那就是大名鼎鼎的牛顿。他们原本是相互欣赏的,但有一次牛顿写信告诉他自己发明了微积分,莱布尼茨回信说他也发明了,且两个人所用的方法和符号并不一样。于是,在他们生命的晚年和去世之后,一场有关个人和民族荣誉的争论打响了,而且是持久战,谁是发明者?谁又是剽窃者?结果双方毅然断绝了任何往来。
在物理学家爱因斯坦生命终点两个星期之前,著名的科学史家科恩(4) (Bernard Cohen, 1914—2003)曾到他普林斯顿的家中拜访,他们谈起牛顿和莱布尼茨之争,爱因斯坦认为那是虚荣心作祟,许多科学家身上都有这种虚荣。爱因斯坦还说:“当我想起伽利略不认可开普勒的工作,我总是感到伤心。”而微积分的优先权之争,由于欧洲大陆的其他数学家(法国人、瑞士人)站在莱布尼茨这一边,英国人损失惨重,之后的一个多世纪里,他们的数学和科学研究停滞不前。
莱布尼茨骨冢,作者摄于汉诺威
至于莱布尼茨本人,他的后半生并不完全幸福。在两位赞助人去世三年后,汉诺威公爵向他伸出了橄榄枝,邀请他担任编年史官和图书馆长,莱布尼茨移居德国北方。作为一名享誉欧洲的科学家和哲学家,他受到英国以外各国王室的礼遇,有着频繁而引人嫉妒的国际旅行。然而,莱布尼茨却与他的对手牛顿一样,终生未婚。不仅如此,汉诺威偏偏与英国联姻,共有一个国王,这使得莱布尼茨的晚年尤为孤独。依照苏格兰出生的美国数学家兼数学史家E.T.贝尔(E. T. Bell,1883—1960)的描述,莱布尼茨最后下葬在一座普通墓地,只有他的秘书和挥舞铁铲的工人听到了泥土落在棺木上发出的声音。
综上所述,德扎尔格建立了射影几何学,并回答了文艺复兴时期意大利画家阿尔贝蒂提出的问题;笛卡尔发明了坐标系和解析几何,同时开启了新哲学和新方法。费尔马发现的自然数奥妙本身带有美学和艺术气质,而帕斯卡尔的散文集《思想录》展现了恒久的文字和智慧之美,他们两人的通信则奠定了概率论这门新兴学科。牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分,随后各自沉湎于艺术的外延——神学或单子论世界,同时分别建立了二项式定理和二进制学说。
如同怀特海所指出的:“纯粹数学是人类心灵最富创造性的产物。”说到心灵,这是一个看不见的器官,是动物在生物学的层面与植物相区分的分界线。心灵是难以琢磨的,它存在于我们的头脑、心脏和肌肤里,既是生命场,又是能量场和情感场。每当我们把心灵投射出去,让它包围自然界的某些物体,这些物体便呈现某种性质,这些性质并不属于物体本身,而纯粹是心灵的产物。美出自心灵,近代中国思想家梁启超先生曾说过:学以保其心灵,医以保其躯壳。无疑,天才的世纪是对心灵的一次盛大的释放。
(1)美国数学史家莫里茨克莱因与德国数学家菲利克斯克莱因的姓其实是不同的,前者是MorrisKline,后者是FelixKlein.
(2)“波尔罗亚尔”的本意是王家码头,距离凡尔赛宫不远,波尔罗亚尔修道院是天主教的改革派詹森主义的大本营.在帕斯卡尔之前,幼年成为孤儿的法国剧作家拉辛(Jean Racine,１６３９—１６９９)被送入这座修道院,在那里长大.拉辛死后,按其遗愿葬于修道院墓地.
(3)英国要到1752年才采用罗马教皇格列高利十三世于1582年颁布的公历,因此牛顿生前他的生日一直按旧历记载为1642年圣诞节.
(4)科恩是美国第一个科学史博士(1947,哈佛),指导老师是有着“科学史之父”美誉的比利时人乔治萨顿(GeorgeSarton,1884—1956),科恩的代表作有«科学革命».
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
