费尔马与帕斯卡尔：数学家的重大贡献

费尔马

与笛卡尔富有冒险、罗曼蒂克和绚丽多姿的生活不同,费尔马(Pierre de Fermat,1607—1665)的生活实实在在、循规蹈矩,甚至有些乏善可陈。费尔马出生在法国南方米迪比利牛斯大区塔恩-加龙省的小镇博蒙·德洛马涅,那里远离法国的数学或艺术中心。即便他的父亲是一位富有的皮革商人,也没有想到给儿子培养艺术方向的才具,不过也算有条件让他进入方济各会修道院学习。

费尔马肖像

1623年,费尔马进入法国中部的奥尔良大学学习民法,三年以后获得了学士学位。之后,他在大西洋海滨以葡萄酒出名的波尔多找到一份工作。业余时间他开始对数学感兴趣,并进行了深入的研究。费尔马曾把一个几何学的结果呈现给当地一位数学家,也把有关一个极值问题的研究成果与另外一位数学家分享。数学史家认为,他受到了前辈同胞数学家韦达(François Viète,1540—1603)的影响,后者在符号学和一元二次方程式理论方面有贡献。

1630年,费尔马在临近故乡的图卢兹议会买到一个议员职位,并于次年在大法官面前宣誓就职,担任上方接待室的法律顾问。他终身担任这个职务,并有权在自己的名字中间加了de(德),表明了一种尊贵的身份,即由皮埃尔·费尔马变成了皮埃尔·德·费尔马。费尔马很有语言天赋,除了法语以外,他还精通拉丁语、希腊语、意大利语、西班牙语和奥克西坦语,他以多种语言写作的诗歌受到赞誉,也热衷于希腊文本的校订工作。

费尔马纪念碑在他的故乡

说到奥克西坦语(Occitan),它是印欧语系罗曼语族的一种语言,主要通行于法国南部(尤其是在卢瓦尔河以南)和意大利的阿尔卑斯山谷,以及西班牙的加泰罗尼亚地区。加泰罗尼亚语与奥克西坦语十分相似,普鲁旺斯语是奥克西坦语的一种方言。1904年获诺贝尔文学奖的法国诗人米斯特拉尔(Frédéric Mistral,1830—1914),即是用奥克西坦语写作的。有一位中学老师出身的智利女诗人的笔名为米斯特拉尔(Gabriela Mistral,1889—1957),她以此为笔名正是出于对这位前辈法国诗人的膜拜,她于1945年为南美洲获得第一个诺贝尔文学奖。

费尔马担任的司法工作占据了他白天的工作时间,而夜晚和假日几乎全被他用来学习语言和研究数学了。主要原因是从那个时代起法国就已反对法官们参加社交活动,理由是朋友和熟人有一天会被法庭传唤,法官与当地居民过分亲密会导致偏袒。正是由于孤立于图卢兹上流社会的交际圈之外,费尔马才专心于他的业余爱好。

费尔马把自己的大部分数学发现都用通信的方式告诉他的朋友,这是古希腊人流传下来的传统。可是,他很少甚或根本没有给出他的证明。在写给朋友的信中,他(在牛顿或莱布尼茨之前)探讨了许多微积分的基本思想。费尔马被誉为“业余数学家之王”,他在几何学、概率论、数论和微积分等方面都作出了重要贡献,这也导致了他与同胞数学家笛卡尔和英国数学家沃利斯等同时代人的优先权之争。

费尔马与另一位同胞数学家帕斯卡尔的通信,则奠定了概率论这门学科,据说这是受一位他们共同的朋友所托。在大数据时代的今天,概率论以及稍晚正式出现的统计学发挥了越来越重要的作用。其实,两位数学家最初讨论的是赌博问题。假如两个赌技相当的人A和B,A若取得2点或2点以上即获胜,B需要取得3点才获胜,那么经过简单而细致的分析可以得知,A和B获胜的概率分别为11/16和5/16。

费尔马并非把他的所有工作都隐藏起来。1636年,他在解析几何学方面的开创性工作以手稿形式发布(基于1629年取得的成果),先于笛卡尔《几何学》的出版(1637),但它的正式出版则要等到他去世后的1679年,书名为《平面与立体轨迹导论》。在方法论上,费尔马提出了一种确定曲线最大值、最小值和切线的方法,这相当于微分学。费尔马还获得一种求平面和固体重心的方法,这类方法导致他在积分学方面的研究取得进展。

最令费尔马倾心的,恐怕仍是数论。这方面对他最有影响的是一部叫《算术》的著作,是由古希腊最后一位大数学家丢番图(Diophantus,约246—330,据推断和计算得知)完成的。费尔马研究过完美数、友好数、佩尔方程,以及被后人以他名字命名的费尔马数和费尔马素数,等等。正是在研究完美数的时候,他发现了费尔马小定理(1640)。这个定理的表述形式如下,设p是素数,则对任意不被p整除的整数a,均有:

这里≡是同余符号,意思是p整除ap-1-1。例如,取a=2,p=5,则有5整除24-1。费尔马本人并未给出证明,1736年,瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)证明了这个结果。1760年,他将这个同余结果推广到一般的整数模,即所谓的欧拉定理。欧拉定理与第一章提及的中国南宋数学家秦九韶发明的大衍求一术一样,在密码学中有着重要的应用。

当然,费尔马最值得一提的是以他名字命名的费尔马大定理,即对于任何大于或等于3的正整数n,下列方程无正整数解:

当n=2时,欧几里得在《原本》里给出了上述方程的所有解,有无穷多组。费尔马发明了一种因式分解法和无穷递降法,从而在n=4情况下证明了费尔马大定理,但它的叙述仍超出本书设定的读者可以接受的范围。

至于n=3的情形,其无解性的证明要等到一个多世纪以后,还是由那位瑞士人欧拉完成的,他对费尔马留下的任何一个问题都倾心研究。至于一般的n,严格的证明要等到1995年,才由英国数学家怀尔斯(Andrew Wiles, 1953— )给出证明,那被誉为“20世纪的数学成就”。在这300多年间,无数聪慧的头脑投入对此定理的研究,一门重要的数学分支“代数数论”和一些重要的数学概念如“理想数”等因此诞生。

此外,费尔马还提出了多角形数定理,即对于任意大于2的整数n,每个正整数均可以表示成为n个n角形数之和。其中,n=4即四平方数定理,是在1770年由法国数学家拉格朗日证明的,n=3的情形是在1796年由德国数学家高斯证明的,一般情形则是在1813年由法国数学家柯西(Augustin Cauchy, 1789—1857)给出的。1828年,德国数学家雅可比用自守型这一强有力的方法,给予n=4一个新的证明。

正如20世纪俄国画家康定斯基所言:“数是各类艺术最终的抽象表现。”与他同时代的一位出生于美国的英国数学家莫德尔也认为:“数论是无与伦比的,因为整数和各式各样的结论,因为美丽和论证的丰富性,高等算术(数论)看起来包含了数学的大部分罗曼史。”因此,虽说费尔马不像其他法国同胞数学家那样是横跨文理的巨人,相信他已经从数论之美中获得了满足。

帕斯卡尔

帕斯卡尔肖像(1691)

就在费尔马进入奥尔良大学读书的那一年,帕斯卡尔(Blaise Pascal, 1623—1662)出生在中南部多姆山省的首府克莱蒙-费朗。他的祖父做过法国财政部长,他的父亲是当地一位税务官和律师,对数学和物理学颇感兴趣。相比笛卡尔和费尔马分别出生于村庄和小镇,帕斯卡尔的故乡好歹算个省会,但是法国有九十六个省(不算海外省),因此省会只相当于我国的中小城市。这似乎再次印证了笔者的一个论断,大城市不容易产生天才人物。

帕斯卡尔集数学家、物理学家、发明家、文学家和神学家于一身,他还是一个神童。在他三岁时母亲即病故,他的父亲因此更加倾心教育孩子。家里还有一个姐姐和一个妹妹,她们对帕斯卡尔这位体弱多病的兄弟一直多有照顾。在他八岁那年,为了孩子的前途,父亲决定把家迁往巴黎。老帕斯卡尔没有再婚,但他们雇佣的女仆露易丝最终成为家中的一员。

12岁那年,帕斯卡尔独立推导出了几何学中的一个定理,即三角形的三个内角之和等于两个直角。那时巴黎有神父出身的数学家梅森每周举办一次科学沙龙,帕斯卡尔父子是常客。16岁时他发现了著名的帕斯卡尔定理,即内接于圆锥曲线的六边形的三组对边的三个交点共线。次年帕斯卡尔出版了《圆锥曲线论》,这是他研究德扎尔格射影几何学的成果,也是自古希腊数学家阿波罗尼奥斯以来在圆锥曲线方面最重要的进展。虽说笛卡尔认定这项工作是老帕斯卡尔所为,但梅森却相信是小帕斯卡尔发现的。

那时的法国可以买卖官职,费尔马买了一个官职,而老帕斯卡尔则卖掉了自己的官职,之后迁居巴黎。原本那笔钱可以让他们全家在巴黎过得舒适(即便不那么奢侈),但他购买了国家债券。而法国因为参与欧洲“三十年战争”,结果债券价值大大缩水,只有原来的九分之一。为了全家的生计,老帕斯卡尔不得已重新出山,到滨海塞纳省的鲁昂担任税务官。

1642年,19岁的帕斯卡尔为了减轻父亲无休止的、累人的计算工作量,设计了一台能够自动进位的可以做加减运算的计算装置,被认为是世界上第一台计算机,也为后来的计算机奠定了基本原理。这些计算机被称为帕斯卡尔计算机或帕斯卡琳,据说一共生产了50台帕斯卡琳,现尚有八台留存,其中四台在巴黎的博物馆,一台在德国德累斯顿的博物馆。帕斯卡尔的计算机在商业上并不成功,其主要原因是价格太昂贵,还因为使用起来过于复杂。

帕斯卡尔发明的加法计算机,现藏于巴黎艺术与仪表博物馆

除此以外,帕斯卡尔在流体力学和流体静力学方面也有卓越贡献,这方面超越了意大利前辈物理学家托里拆利(Evangelista Torricelli,1608—1647)。后者是伽利略的学生和助手,以发明气压计闻名,曾继伽利略之后出任佛罗伦萨科学院的数学和物理学教授。帕斯卡尔还发明了水银气压计、注水机和水压机,撰写了液体溶液平衡、空气的重量和密度等方向的重要论文和实验报告。

印度人发现的三角形(755),现藏于拉古纳特图书馆

1654年对帕斯卡尔是个关键性的年份,他研究了多个数学问题。首先,他在无穷小分析上深入探讨,得出求不同曲线所围面积和重心的一般方法,并以积分学的原理解决了摆线问题,他的论文手稿对德国数学家莱布尼茨建立微积分学有重要启发。其次,在研究二项式系数性质时,写成《算术三角形》提交给巴黎科学院。二项式系数被后人称为“帕斯卡尔三角形”,虽说9世纪印度数学家马哈维拉(Mahavira)和11世纪中国数学家贾宪更早给出。

也是在1654年,帕斯卡尔首次体验了宗教,此后放弃了数学研究。次年,他进了巴黎西南郊的波尔罗亚尔女修道院(2) (Port Royal Abbey),在那里写作了两部传世之作——《致外省人》和《思想录》。与此同时,帕斯卡尔并没有放弃物理学的研究,甚至对数学哲学也有十分重要的贡献,这方面帕斯卡尔的主要成果收录在著作《几何学精神》中,最初始于为皇家小学的几何学教材撰写的序言。

《几何学精神》直到帕斯卡尔死后一个多世纪才出版,书中研究了真理的发现问题,他认为理想的方法是在已经确立的真理上找到所有的命题。然而同时,他又声称这是不可能的,因为这些既定的真理需要其他的真理来支持。基于这一点,帕斯卡认为几何学的方法是尽善尽美的,假定了某些原则,从中推导出其他命题。然而,我们却无法知道假定的原则是否真实。

帕斯卡尔还发展了一种定义理论。他区分了由作者依据传统标签给出的定义和用语言给出的定义,认为只有第一种定义对科学和数学才是重要的。在《说服的艺术》一书中,帕斯卡尔深入地研究了公理化方法,特别是人们如何对所得的结论依据的公理深信不疑的问题。他同意前辈同胞、作家兼思想家蒙田的观点,即通过已有方法来证明这些公理结论的正确性是徒劳的,断言它们只能通过直觉来领会,从而强调了寻找真理必须服从上帝。

1646年冬天,58岁的老帕斯卡尔在鲁昂一条结冰的街道上滑倒,摔断了屁股。考虑到年龄和17世纪的医学,这种情况非常严重,有可能是致命的。幸好法国最好的两位骨科医生在鲁昂,经过他们的精心治疗,老人活了下来,又能走路了。在这期间,帕斯卡尔与这两位医生有了密切接触,原来他们是从天主教分裂出来的詹森主义的追随者。这次经历以及后来父亲过世之后兄妹的财产之争,使得帕斯卡尔最终皈依了詹森教。(www.xing528.com)

《致外省人》由18封书信组成,这些信件是替詹森主义者阿尔诺辩护的,后者因为写作了一部反对耶稣会的著作而被审理。相比耶稣会对道德方面的宽松,詹森主义比较严酷,认为人的得救只能依靠上帝的恩典,而无法通过自己的善行。这部著作出版后立刻取得了成功,它用一种既简洁又丰富、严谨而准确的文风替代了以往的装腔作势、故弄玄虚和冗长乏味,被法国文学批评奠基人布尔洛赞为法国近代散文的开端,至今盛名不衰。

如果说《致外省人》里的帕斯卡尔是一位雄辩的批评家,那么《思想录》里的帕斯卡尔就是一位富有灵感的艺术家。例如,书中这样劝导那些怀疑论者:如果上帝不存在,那么怀疑论者由于相信他而什么也不会失去;而如果上帝存在,那么怀疑论者由于相信他就可以获得永生。《思想录》被广泛认为是一部杰作,是法国文学的一个里程碑。而帕斯卡尔本人,正如20世纪美国出生的英国诗人、1948年诺贝尔文学奖得主T·S·艾略特所描绘的,“苦行僧中的世俗男子,世俗男子中的苦行僧”。

方法论

在讲述笛卡尔的方法论之前,我们先来回顾一位地理学家和两位哲学家。

麦卡托像

麦卡托(Gerardus Mercator,1512—1594)是佛兰德斯地理学家、制图学家。1569年,他依据自己发明的麦卡托投影法绘制出一幅长202厘米、宽124厘米的世界地图。麦卡托投影法是一种等角的圆柱形地图投影法,是将地球仪投影在外接圆柱壁上,再摊开成为平面地图。

这种投影法投影出来的地图呈长方形,经线和纬线也与地球仪上的一样互相垂直。因此,它对远程的航行很有帮助,迄今航海图大多还是用这种投影法绘制,谷歌地图和苹果地图等也是采用这个方法。但麦卡托投影会使面积产生变形,越接近极点比例越失调。值得一提的是,澳大利亚要到1606年才被“发现”,故而没出现在麦氏地图上。据说940年我国宋朝也有人发明这个方法,遗憾发明者名字等信息未详,也未有地图传世。

麦卡托绘制的世界地图

佛兰德斯是西欧的历史地名,泛指古代尼德兰南部地区,包括今比利时的东西佛兰德省、法国的加来海峡省和北部省、荷兰的泽兰省。麦卡托出生于今安特卫普(比利时港市)南部小村卢佩尔蒙德,是家中第七个孩子。当时,他们家住在今德国西部边境,距离荷兰只有一英里的甘格尔特村。那次是去亲戚家串门的,不料母亲生下了他。他们在卢佩尔蒙德停留了六个月,便又回到了甘格尔特。

七岁那年,麦卡托开始在村里上学,学习阅读、写作、算术和拉丁文。14岁那年父亲去世,他便由亲戚监护,这位监护人希望他能像自己那样成为牧师。次年,麦卡托被送到布拉班特公国一所学校念书。整整40年前,人文主义思想家、神学家、鹿特丹的伊拉斯谟曾就读这所学校。学校所在地叫赫托根博什,是公国四个首府之一,另外三个是布鲁塞尔、安特卫普和鲁汶(Leuven,法语Louvain)。除了《圣经》,他还学习拉丁语、逻辑和修辞学,亚里士多德哲学、普林尼的自然史和托勒密的地理学也在其中。

1532年,麦卡托就读鲁汶大学,比帕斯卡尔追随并信仰的詹森入学早了70年,后者曾出任鲁汶大学校长。麦卡托的同学和好友中,有后来创建解剖学的维萨留斯,他使医学走上观察和实验的轨道。毕业后麦卡托去了安特卫普,并没有成为牧师,而是与方济各会修士频频接触,他们对亚里士多德经院哲学多有怀疑,更偏向测量和观察,其中有一位是地图和地球仪收藏者,这触发了麦卡托对地理的热爱。

两年以后,麦卡托回到鲁汶,投身于地理学、数学和天文学的研究。在一位仅比他年长四岁的青年学者指导下,他们合伙制作地球仪,麦卡托引进了意大利人发明的斜体字,书写在地球仪上,结果销售取得成功,他的经济状况大为改善,让他有条件娶妻生子。30岁那年,他的人生遭受了重大挫折,他因被怀疑是路德教徒上了宗教裁判所黑名单,在被捕关押七个月后无罪释放,其他五人则上了断头台、火刑柱或被活埋。

1552年,麦卡托携家搬到克利夫斯公国的杜伊斯堡(今德国),在那里度过了后半生。或许,杜伊斯堡对学者和宗教的宽容吸引了他,市长成为他的好友,公爵任命他为宫廷宇宙学家,他还出版了欧洲挂历,将其献给红衣主教。麦卡托成为地图出版商、雕刻师和书法家。在这期间,他完善了投影法,绘制成世界地图和各种各样的地图(命名了地图集Atlas),使得航海家只需画些直线就能够长距离旅行而无须不断调整罗盘。

总之,麦卡托利用数学方法发明了投影法,成功绘制出世界地图。反过来,他的经纬线地图,又可能在某种意义上启迪了笛卡尔,后者在麦卡托去世两年后出生。1633年,当笛卡尔听到伽利略在意大利受到宗教裁判所审判的消息,放弃了出版几何著作的想法(五年后以随笔形式作为《方法论》的附录三付印)。而此前一年,荷兰犹太哲学家斯宾诺莎(Baruch de Spinoza,1632—1677)在阿姆斯特丹降生,他出版的第一部著作正是《笛卡尔哲学研究》。

在讲述斯宾诺莎的故事之前,我们先来谈谈英国哲学家和政治理论家霍布斯(Thomas Hobbes,1588—1679),他比德扎尔格还早出生三年,却比斯宾诺莎晚两年去世。换句话说,他的生命涵盖了德扎尔格、笛卡尔、帕斯卡尔和斯宾诺莎这四位的生命。遗憾的是,由于他对数学(几何学)的兴趣发生得较晚,错失了数学发现和创造的机会。

霍布斯15岁进入牛津大学,读书期间大部分时间用来阅读游记,研究地图和航海图。后来他成为卡文迪许伯爵的私人教师(剑桥的卡文迪许实验室培养了许多杰出物理学家),曾三次陪同伯爵到欧洲大陆旅行,与法国数学家梅森多次相聚,出席过他的学术沙龙,也曾在意大利与伽利略探讨学术。正是在一次旅行过程中,他发现了欧几里得的《几何原本》并做了研究,学到了演绎的方法。

有一则关于霍布斯发现《几何原本》的小故事。40多岁的某一天,霍布斯在旅途中走进一家私人图书馆,看到《几何原本》。当他翻看里面的几何命题,嘴里念念有词:“这不可能。”但是几次三番,他终于信服了,从此喜欢上几何学,尤其是那种无懈可击的论证方式。显而易见,建筑物上层的稳固取决于基础的坚实,如果在一开始就能提出无可争议的论述,再层层递进,最终有理解力的人都会接受更高层次的论断。

霍布斯认为人是生而平等自由的,他以论述个人安全和社会契约的著述闻名于世,其中包含了自由主义的思想萌芽,也包含了那个时代的专制主义特征。他的代表作是《利维坦》,几个世纪以来,一直是许多国家元首必读的政治书籍。利维坦是一种威猛的海兽,他以此比喻君主专制政体的国家。据说在霍布斯的时代,没有一个英国人在国外的知名度比他更高。凡是到访英国的外国名人,总是非常期待能见到他,并向他表达敬意。

再来说说斯宾诺莎,他的祖先居住在西班牙北部,15世纪末因受宗教和种族迫害,举家逃难到葡萄牙,一个世纪后又逃到荷兰。斯宾诺莎的祖父和父亲均为阿姆斯特丹颇受尊敬的犹太商人,父亲经营进出口贸易,担任犹太人公会会长,家庭生活优裕。六岁那年,斯宾诺莎进了父亲兼任校长的犹太教会学校念书,课余又在家人安排下,师从一位德国学者学习拉丁文和德文。

在研究犹太经典著作的过程中,斯宾诺莎产生了怀疑,结果被犹太教视作离经叛道,并于1656年被开除出犹太教,那年他24岁。他卜居海牙,过着清贫的生活,最后搬出犹太居住区,以磨镜片为生,同时进行哲学思考。他不承认神是自然的创造主,而认为自然本身就是神的化身。1673年,斯宾诺莎曾被邀请担任海德堡大学哲学教授,条件是不可提及宗教,被他婉拒。磨镜片工作伤害了他的健康,他吸入了大量硒尘,45岁时因肺痨去世。

斯宾诺莎最负盛名的著作是《几何伦理学》,简称《伦理学》。该书以欧几里得几何的方式来写作,开头给出一组定义和公理,从中产生命题、证明、推论及解释。书中讨论了三个主题,即形而上学、心理学和伦理学,其中伦理学是他的创造。斯宾诺莎认为善对于不同事物(例如人和马)是有区别的;人类的理解力是上帝无限智慧的一部分。他把认识论分成三个阶段,意见或想象(经验和判断并不充分)、理性(存在几何学的先天知识)和直观(对客体的充分认识)。

《伦理学》是在斯宾诺莎去世以后才得以出版的,之前他早已经接触到了笛卡尔的哲学并进行过深入细致的研究,曾用几何学的方法阐述笛卡尔的《哲学原理》。斯宾诺莎对笛卡尔哲学难解之处的通俗易懂的解答尤其引人瞩目,他的哲学既是对笛卡尔哲学的发展,也是对笛卡尔哲学的否定。现在,我们就来谈谈笛卡尔的《方法论》。

笛卡尔«方法论»

《方法论》是笛卡尔第一部哲学著作,出版于1637年(笛卡尔的几何学正是作为该书的附录三首次面世的),那年费尔马提出了他的大定理。笛卡尔认为人的心灵基本上是健全的,是获得真理的唯一手段。书中笛卡尔提出了以下四个准则:

第一,不接受任何自己不明白的真理。换句话说,只要是自己没有真切体会到的,不管哪个权威的结论,都可以怀疑。这就是著名的“怀疑一切”理论。例如,亚里士多德曾说过,女人比男人少两颗牙齿,而事实并非如此。

第二,将要研究的问题,尽量分解为多个较为简单的小问题,一个个分开解决。

第三,将小问题从简单到复杂排列,先从容易解决的着手。

第四,问题解决后,要综合起来检验,看是否完全彻底地解决了。

在书的最后一部分,笛卡尔概述了其学说的形而上学基础。他认为物质世界的科学必须以现实世界的绝对确定性为基础,在这个过程中,怀疑的方法被普遍应用。怀疑即是在思考,在我怀疑时,我必须存在。自古希腊的泰勒斯以来,西方哲学家都信奉一元论,即物质世界是由某一个元素组成的。笛卡尔发明了“二元论”,明确地把心灵与肉体区分开来。心灵的作用正如其著名的命题所表达的,“我思,故我在”。以此为出发点,笛卡尔引申出他的所有哲学命题。

1644年,笛卡尔又出版了《哲学原理》。这部著作是对他的哲学思想的概括和总结,明确表现出了理性主义思想。笛卡尔认为,理性比感官更可靠,人类应该可以使用数学的方法——也就是理性——来进行哲学思考。全书分四个部分:第一部分重述他的哲学原理;其余三个部分依次通过物理、化学和生物学对一切自然现象进行逻辑学描述,并对精神的、神学的或其他为一定目的服务的事业予以否定。在这个过程中,笛卡尔将机械学的词汇与几何学观念相联系,利用假说进行概括,为使用近代方法进行科学研究开辟了道路。

在笛卡尔看来,哲学就其整体来说,好像是一棵树,其根为形而上学,其干为物体,而枝杈是由此滋生出来的一切科学,它们可分为医学、机械学和伦理学。在宗教信仰方面,笛卡尔声称自己是虔诚的罗马天主教徒,但在他的时代,笛卡尔被指控宣扬秘密的自然神论和无神论。帕斯卡尔就曾说过:“我不能原谅笛卡尔;他在其全部的哲学之中都想撇开上帝。然而他又不能不要上帝来轻轻碰一下,以便使世界运动起来;除此之外,他就再也用不着上帝了。”

与虔诚的帕斯卡尔一样,笛卡尔也给出过上帝存在的理由。笛卡尔哲学的起点是怀疑论。他认为一切东西都是可以怀疑的,而在怀疑之后是一种一无所有的状态;另一方面,怀疑者本身不能不存在,因为“要想象一种有思想的东西是不存在的,那是一种矛盾”。这就是笛卡尔的“我思,故我在”(法语:je pense, donc je suis;拉丁语:cogito, ergo sum;英语:I think, therefore I am)。最后,他找到了那个不可怀疑之物,一个有思想的、思维着的理性、观念、精神。或许,在笛卡尔心目中,上帝就是他本人。