德扎尔格与笛卡尔：数学与艺术的突破性成就

天才的世纪

在拙作《数学传奇:那些难以企及的人物》里,有这样一段描述:

英国哲学家怀特海早年在剑桥大学攻读数学,后来留校做了一名讲师,历时30载;之后,他受邀到伦敦大学帝国学院担任为时十年的应用数学教授。期间,怀特海对包括哲学在内的诸多领域广泛涉猎,收获颇丰,以至于他退休之后,立刻被大西洋彼岸的哈佛大学聘为哲学教授,开始了另一段辉煌的学术生涯,直到76岁高龄才离职。十年以后,他在波士顿辞世。

怀特海曾与弟子罗素(Betrand Russell,1872—1970,1950年获诺贝尔文学奖)合作,写下三卷本的巨著《数学原理》(1913),而《科学与现代世界》(1925,后改名《科学与近代世界》)则是他晚期的代表作。在这本不到200页却几乎无所不包的自然哲学论著里,怀特海把17世纪称为“天才的世纪”,并以此来为其中的第三章命名。

与主要依赖于生物学构建直觉主义的法国哲学家柏格森(Henry Bergson,1859—1941,1927年获诺贝尔文学奖)不同,怀特海努力用近代数学和物理学的成就阐明他的过程哲学思想。他们两人的差异让人不由想起古希腊的两大哲学家——柏拉图与他的弟子亚里士多德,他们之间的差异也在于对数学与生物学的不同偏好上。

在谈到对17世纪科学的萌芽起到关键作用的主要因素时,怀特海指出,首先是数学的兴起,其次才是对自然秩序的本能信念和中世纪后期的理性主义。他并指出,17世纪始终如一地为人类生活的各个领域提供了思维活跃的天才,对于那个伟大的时代来说,这些天才是完全相称的。而按照达·芬奇的观点,意大利文艺复兴时期写实主义艺术的兴起同样也是形成欧洲人科学思想的一个重要因素。

怀特海接着谈到,由于“天才的世纪”涌现的伟大人物和发明创造实在太多,有些事件难免会同时发生。例如,1605年,培根的著作《学术的进展》和塞万提斯的小说《堂吉诃德》同时面世。头一年莎士比亚的悲剧《哈姆莱特》初版发行,到了那一年又出了一个修订版。然后,莎士比亚和塞万提斯在1616年的同一天(4月23日)去世。而那一年的春天,哈维也发表了有关血液循环的理论。

众所周知,英国人牛顿出生的1642年,刚巧意大利人伽利略去世,同时也是波兰人哥白尼发表《天体运行论》100周年。之前一年,法国人笛卡尔发表了《形而上学的沉思》,两年之后,他又出版了《哲学原理》。总而言之,“这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来”。

怀特海在书中开列出17世纪12个天才人物,并声称是按照“凡事不过十二”的精神为前提。他对自己的同胞明显有所偏爱,结果英国占据五席:培根、哈维、牛顿、洛克和波义尔,法国、荷兰和德国各占两席,分别是笛卡尔和帕斯卡尔、惠根斯和斯宾诺莎、开普勒和莱布尼茨,还有意大利人伽利略。与此同时,怀特海又说,无论意大利人、法国人、荷兰人还是英国人,都可以单独列出一长串天才的名单,而唯独德国不能,因为他们经历了残酷的“三十年战争”。

说到“三十年战争”(1618—1648),它是17世纪欧洲的头等大事,是由神圣罗马帝国的内战演变而成的,堪称历史上的第一次“欧洲大战”,也是一场“宗教战争”。在中世纪后期,神圣罗马帝国内部诸侯国林立、纷争不断,宗教改革运动之后发展出天主教和新教的尖锐对立,加之周边国家纷纷崛起,遂爆发了欧洲主要国家纷纷卷入的德意志内战。

这场战争基本上是以德意志新教诸侯国和丹麦、瑞典、法国(法国是天主教国家,但为了称霸欧洲才与新教国家站在一起)为一方,并得到荷兰、英国、俄国的支持;另一方为神圣罗马帝国皇帝、德意志天主教诸侯国和西班牙,并得到教宗和波兰的支持。战争以哈布斯堡王朝战败并签订《威斯特伐利亚和约》而告终,损失最惨重的是德意志,据说日耳曼诸邦国有一半男子阵亡。

这场战争推动了欧洲民族国家的形成,是欧洲近代史的开始。战争耗费的时间超过20世纪两次“世界大战”的总和的一倍,其共同的特点之一是英才辈出。首先,我们来介绍英国人弗朗西斯·培根(Francisco Bacon,1561—1626)。在方法论上,培根最早意识到古代烦琐学派的演绎法与近代归纳观察法之间的对立。特别值得一提的是,他清醒地意识到亚里士多德的三段论已不能满足科学的发展,需要新的工具论了。

出身伦敦新贵族家庭,12岁入读剑桥大学三一学院的培根在学生时代便勤于观察,大学学习让他对传统观念和信仰产生了怀疑,开始独自思考社会和人生的真谛。三年以后,少年培根作为英国驻法大使的随员旅居巴黎。在两年半的时间里,他几乎走遍了整个法国(那时法国较英国更为先进),这使他接触到不少新的事物,汲取了许多新的思想,对其世界观的转变产生了极大影响。

打盹的培根,作者摄于剑桥三一学院

回国以后,培根一面攻读法律学位,一面因父亲去世努力谋生。他成为著名律师并步入政界,23岁当选国会议员,后被封爵士,担任掌玺大臣和国王顾问等职。与此同时,他一直对科学保持兴趣,曾在《沉思录》中写道,“知识就是力量”(Ipsa Scientia Potestas Est),可惜此书生前未能出版。65岁那年冬天,培根尝试把雪填满鸡的身体,研究冷冻防腐现象,受寒致支气管炎复发猝逝。

1620年,培根出版了《新工具论》,发表了他的新归纳法。他认为,不仅要把所考察的、共有一种给定性质的对象列表,也要把缺乏这种性质的东西和虽有这种性质而程度不同的对象列表,这样就有希望发现这种性质的特点。遗憾的是,培根只把数学看成是自然科学的辅助学科,甚至不清楚数学是如何用来为科学服务的,更没有意识到伽利略的物理学是以数学的形式呈现的。

然而,17世纪涌现了不少数学巨人,尤以法兰西居多。首先取得突破性成就的是德扎尔格,他回答了200年前意大利艺术家阿尔贝蒂提出的绘画中的数学问题(参见上一章),即相互平行的玻璃屏板上的同一物体的截景之间的数学关系问题。换句话说,这项富有创造性的数学成果——射影几何学,是来自受绘画艺术的激发而产生的灵感。

德扎尔格

德扎尔格(Girard Desargues,1591—1661)出生于法国中部的里昂,父亲是皇家公证人和法院的调查员。我们对德扎尔格的早期教育所知甚少,他可能是在故乡念的书,后来去了巴黎,担任过家庭教师、工程师和技术顾问。1645年,他成为建筑师,在巴黎和里昂设计过几座私人和公共建筑。作为工程师,他曾向巴黎市政府建议,用一种借助于尚未被认可的外摆线轮原理设计的机械装置来提升塞纳河的水位,以便向城内供水。

1628年,德扎尔格作为一名军事工程师,参与了包围拉罗舍尔(La Rochelle)的战斗,在那里结识了笛卡尔,并成为朋友。拉罗舍尔是法国西海岸的港口城市,也是一座省会城市。在波旁王朝时期,胡格诺教徒在法国南方成立了不受中央控制的国中国,拉罗舍尔是两个主要堡垒之一,那里与新教的英格兰和荷兰往来密切,于是路易十三派首相黎塞留率军前往讨伐。

两年以后,德扎尔格来到巴黎,又与数学家梅森等成为朋友,并经常出席梅森举办的数学沙龙,在那里他频频见到数学家帕斯卡尔父子,这个沙龙后来演变成法国科学院。与此同时,德扎尔格与身处外省的数学家费尔马也建立了联系。上述这些人的活动和他们取得的成就,使得法国在17世纪前半叶成为世界数学强国之一,也为巴黎成为接下来两个多世纪里的世界数学中心打下了坚实的基础。

1636年,德扎尔格出版了《关于透视绘图的一般问题》(简称《透视法》)。三年以后,他又出版了《试图处理圆锥与平面相交结果的草稿》(简称《草稿》)。《草稿》汇集了德扎尔格的新思想和新方法,是射影几何学的奠基之作,同时他也回答了阿尔贝蒂的问题。当时他只印了50本左右,分送给朋友和熟人,原来还想出修订版,结果因为遭到某些同行的诋毁,加上解析几何和后来微积分的迅速发展,德扎尔格的著作渐渐被人遗忘。

在德扎尔格开始从事建筑师这项工作以后,他就不再关心数学上的问题,而让一位雕刻师朋友去传播他的数学思想。1648年,这位朋友重印了《透视法》,并在附录中添加了德扎尔格发现的三个几何定理,包括著名的德扎尔格定理。1845年,一位数学史家才在巴黎的一个旧书店里发现《草稿》的手抄本,当时正值射影几何的复兴时期。

又过了100多年,大约在1950年前后,有人在巴黎图书馆里发现《草稿》的原版本。这本书历经三个多世纪,终于在数学史上有了一席之地。笔者在新千年的某个春季巴黎时装周上,看到有位设计师专场展示了依据德扎尔格发现或研究过的几何曲线设计的系列时装。下面,我们介绍德扎尔格在数学领域三项可以被大众理解的成果:

一、提出无穷远点和无穷远线的概念,从而使得平行与相交完全统一。(www.xing528.com)

这等于说,平面上任何两条直线均相交,相交于有限点是真的相交,相交于无穷远点是平行。同样,空间里任意两个平面也必然相交于一条直线,在平行状态下它们相交于平行远线。在德扎尔格看来,平行是相交的特殊情形,这样就确立了不同于欧式几何的射影几何学的初始概念。

二、提出了圆柱不过是顶点在无穷远点的圆锥,从而将圆柱与圆锥相统一。

由于古希腊数学家阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》对圆锥曲线进行了完整的总结,倘若没有思想上的新突破,后来者在这个问题上几乎没有插足之地。德扎尔格意识到所有非退化圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)与圆都是射影等价的,从而可以利用射影法统一处理圆锥曲线。此外,他主要关心几何图形的相互关系,而不涉及度量,这也是几何学的一种新思想。

三、提出并证明了德扎尔格定理。

所谓德扎格尔定理是这样说的:假如平面或空间的两个三角形的对应顶点的连线共点,那么它们的(三组)对应边(延长线)的交点共线,反之亦然。如果从画家的角度出发,这个定理可以这样叙述:“假如两个三角形可以通过一个外部的点透视看到(恰好处于锥体的两个不同截面),则当它们没有两条对应边平行时,对应边的交点共线。”

德扎尔格定理

事实上,按照数学史家们的分析和判断,17世纪的几何学研究主要是沿着两条方向突破的,一条就是德扎尔格所走的路线,可谓是几何方法的一种综合,但却是在更一般的情况下进行的;另一条道路无疑更加辉煌,就是利用代数的方法来研究几何,那便是由笛卡尔建立起来的解析几何学。

笛卡尔

正如莫里斯·克莱因(1) 在他的名著《西方文化中的数学》所指出的:“从透视学的研究中产生的一个思想是,人所触觉到的世界与人所看到的世界,两者之间有一定的区别。相应地,应该有两种几何学。一种是触觉几何学,一种是视觉几何学。”欧几里得几何学就是触觉几何学,因为它与我们的触觉是一致的。

例如,平行线只存在于触觉中,因为在视觉里平行线是不存在的,我们绝不可能看到两条真正的平行线,即便是绝对等距离的铁轨,延伸到远处以后,从视觉上看去也会越来越接近于相交。而如果是茶杯杯沿那样的圆,除非从正上方俯瞰,否则我们看到的也只能是椭圆。即便是从正上方俯瞰,由于我们有两只眼睛,因此看到的圆也不会是百分之百的圆。后一种(视觉的)正是射影几何学,而笛卡尔建立的解析几何学却仍属于前一种(触觉的)。

笛卡尔(Rene Descartes,1596—1650)比德扎尔格小五岁,出生于法国中部小镇拉艾(La Haye),这座小镇现已改名为笛卡尔镇。当他14个月大时,母亲便患肺结核去世,他也受到感染,因而从小身体羸弱。不久父亲再婚并移居他乡,把他留给外祖母抚养,此后父子很少见面。不过,父亲在经济上比较慷慨,这使得笛卡尔受到良好的教育,有机会进入国王创办的贵族学校读书,校长看到他天资聪颖,便允许他可以不出早操。

遵从父亲希望他成为律师的愿望,笛卡尔后来进入普瓦捷大学学习法律和医学。但笛卡尔对各种知识包括数学都很感兴趣,毕业后对职业的选择犹豫不定。他先是到巴黎生活一段时间,后来回到故乡,再后来变卖掉父亲留下的遗产,决心游历欧洲各地,从“大地这册典籍”中寻找智慧。为此笛卡尔参加了荷兰军队,随军驻扎多地,时而参加战斗,时而寻欢作乐。最后,他选择在荷兰安居下来,著书立说。

接下来的20多年时间里,笛卡尔在阿姆斯特丹,还有莱顿、乌得勒支等城市,潜心写作。无论是单身,还是在他与阿姆斯特丹一位书店女店员同居时,他都基本上闭门不出。“隐居得越深,生活得越好”,这是笛卡尔的座右铭。在荷兰,他写出了最优秀的著作,几乎在第一部书刚一出版,就赢得了巨大的声誉。之后,不仅他的读者,甚至他自己也被书中伟大的思想吸引了。

工作中的笛卡尔

笛卡尔在军队服役和游历欧洲期间,注意“收集各种知识”,“对随处遇见的种种事物进行思考”。笛卡尔对数学和物理学的兴趣,也是在荷兰当兵期间产生的。1618年11月10日,他偶然在路边公告栏上,看到用佛莱芒语写的数学问题征答。他让身旁的战友将他不懂的佛莱芒语翻译成拉丁语。这位战友大他八岁,与牛顿同名,也叫艾萨克(Isaac)。艾萨克在数学和物理学方面有很高造诣,很快成了笛卡尔的良师益友。

四个月后,笛卡尔写信给艾萨克:“你是将我从冷漠中唤醒的人……”并且告诉他,自己在数学上有了四个重大发现。那时候拉丁文是学者的通用语言。笛卡尔也按照当时的风俗,在他的著作上签上自己的拉丁化名字——Renatus Cartesius(瑞那图斯·卡提修斯)。也正因为如此,由他创立的笛卡尔坐标系也被称作卡提修坐标系。而发现坐标系,是笛卡尔在德国多瑙河畔小镇乌尔姆(Ulm)驻扎时的灵感,两个世纪以后,物理学家爱因斯坦也降生在那个小镇。

早在拉艾学校读书时,笛卡尔就开始怀疑,人们为何要声称自己知道那么多的真理?毕业时,他甚至断言,这个世界根本就不存在确定无疑的知识。他所受到的全部教育只不过是使他更进一步发现人类的无知,这是笛卡尔的怀疑主义。诚然,他也认识到某些研究的价值,但他认为,“雄辩术有无可比拟的力量和美感,诗歌有其令人陶醉的优雅和情趣”,但他却断言,“这些只不过是大自然赐给人类的礼物”。

笛卡尔在给瑞典女王讲解几何学

笛卡尔人到中年的时候,五岁的女儿死于热病,同居的女友随后也嫁人了,他的幸福时光戛然而止。此后,他可能爱上过一个年轻的贵族小姐,直到另一个同样年轻而任性的女人出现,那便是瑞典女王克里斯蒂娜。23岁的女王是笛卡尔的崇拜者,她派出一艘军舰把笛卡尔邀至斯德哥尔摩,于是在那个格外寒冷的冬天,睡惯懒觉的他不得不每周三次在凌晨五点来到王宫,为她讲授哲学。几个月以后,笛卡尔因为肺炎复发客死异乡。

笛卡尔坐标系

笛卡尔被德国哲学家黑格尔誉为“近代哲学之父”,他的方法论我们留待下一节叙述。笛卡尔的数学贡献大致可以归纳为以下几个方面。其一,算术的符号化,比如我们使用的已知数a,b,c和未知数x,y,z是由笛卡尔定义的。其二,从原点出发,延伸出x轴和y轴,建立历史上第一个倾斜坐标系,并给出直角坐标系的例子。其三,在直角坐标系的基础上,建立了解析几何,这无疑是笛卡尔对数学最重要的贡献。其四,凸多面体的顶点数v、边数e和面数f之间的关系:

这个公式被后人称为欧拉-笛卡尔公式。

此外,笛卡尔在数论方面也花费了很多心血。例如,著名的哥德巴赫猜想说的是:每个大于4的偶数必为2个奇素数之和。众所周知,哥德巴赫猜想是由18世纪的德国数学家哥德巴赫与瑞士数学家欧拉在通信中提出来的。但是,一个多世纪以前,笛卡尔就在笔记本上悄悄地记下了这一发现。此外,他还研究了完美数和亲和数,发现了多个2—4阶的完美数和一个10位数的亲和数。还有笛卡尔叶形线,这个曲线及其图像在微积分学教程里常可见到,也被用来佐证他与瑞典女王的爱情故事。