透视的几何学
文艺复兴时期的画家们之所以对数学有如此广泛的兴趣,原因应该是多方面的。首先,绘画的问题是把三维空间的人物或客观事物表现在二维的平面上,无论如何这都与几何学有关。艺术家要创作逼真的作品,除了颜色、形态和意图,他或她面对的对象本身是有一定空间的几何形体。具体来说,画家要考虑理想的比例,描绘它们位于空间中的位置的相互关系,这就需要用到欧氏几何。
其次,文艺复兴时期的画家们都受到了希腊哲学的影响,他们熟悉并满脑子充斥了这样的信念:万物皆数;数学是真实的现实世界的本质,宇宙是有秩序的,并能按照几何方式明确地理性化,终极真理的表达方式就是数学的形式。因此,艺术家像希腊哲学家一样,认为要透过现象认识本质,需要在画布上真实地展示题材的现实性,他们最后面临和解决的问题必定归结为一定的数学内容。
再次,中世纪晚期和文艺复兴时期的艺术家,往往也是那个时代的建筑师和工程师,因此必然需要和爱好数学。那时候的商人、王侯和教会纷纷把建筑问题交给艺术家,让他们设计建造教堂、修道院、皇宫、医院、桥梁、水闸、堡垒、运河、城墙、战争器械,等等。在达·芬奇的笔记本里,可以找到大量的诸如此类的设计图纸。因此,文艺复兴时期的艺术家既是博学的纯粹数学家,也是优秀的应用数学家。
值得一提的是,“文艺复兴”的意大利文Rinascimento是由ri(重新)和nascere(出生)构成的,意为“再生”“复活”。经过漫长的中世纪黑暗时代之后,意大利各个城邦崛起,市民和世俗知识分子(非经院哲学的教士)越来越厌恶天主教的神权和禁欲主义,可是由于本身没有成熟的文化体系可以抗衡,于是借助复兴古希腊和古罗马的文化形式来表达自己的诉求。它不仅仅是古典的复兴,还是资产阶级的新文化运动。在这场主要由艺术来呈现的复兴运动中,数学起到了非常重要的作用,以至于克莱因称文艺复兴是“数学精神的复兴”。
然而,终要有特殊的数学问题作为中介,让那些有天赋的艺术家们进行探讨和研究,发挥他们的才智。这个问题非透视莫属,即如何在二维的画布上展现现实世界中的三维景物?为此,经过几代艺术家的共同努力,他们创建了一整套全新的数学透视理论体系,从而建立起一种崭新的绘画风格,并把古典绘画带到一个新的难以企及的高度。
在西方绘画史上,各种透视体系大致可以分成两大类,即概念体系和光学体系。光学体系即前文阐释的透视原理和没影点理论,而概念体系是指按照某种观念或法则去描绘人物或物体,与实际的景物本身几乎没有什么关系。例如,古埃及的绘画,人物的大小经常依据他们在政治或宗教阶层中的地位而定。在这些作品中,法老的尺寸是最大的,其次是他的妻子,大臣就更小了,但仍比仆人要大。
在东方,例如中国画和日本画,也基本上是遵从概念体系进行创作的,也即没有引入透视的原理或数学的方法。而在现代绘画作品中,概念体系也经常出现,有的甚至成为表达的方式。超现实主义画家马格里特认为:一个事物恰恰是为它经常出现的样子所遮蔽。他采取的方法之一是:改变对象的尺度、位置或质地,创造出一种不协调。下面,我们举几个他的作品为例。
马格里特«单人房间»
马格里特的«单人房间» 出现在旧金山旅游巴士上,作者摄
在《收听室》中,一个苹果占据了整个房间。在《大餐盘》中,一个巨大的餐盘出现在海边。《单人房间》更离奇,艺术家把衣橱、床、头梳、酒杯、铅笔、胡子刷等毫无比例地堆放在一起,而墙壁则是蓝天白云。2018年秋天,作者在旧金山街头看到,城市旅游大巴上画着《单人房间》。而在写于1988年的拙作《村姑在有篷盖的拖拉机里远去》中,篷盖、麦田、围巾、脚丫在瞬间改变了尺度,犹如电影里的蒙太奇镜头。
村姑在有篷盖的拖拉机里远去
我在乡村大路上行走
一辆拖拉机从身后驶过
我悠然回眸的瞬间
与村姑的目光遽然相遇
在迅即逝去的轰鸣声中
矩形的篷盖蓦然变大
它将路边的麦田挤缩到
我无限扩张的视域一隅
而她的围巾飘扬如一面旗帜
她那硕大无朋的脚丫
从米罗的画笔下不断生长
一直到我伸手可触
这首诗末节也是对第一章所介绍的希腊艺术“前缩法”的一个注记或说明。只不过在写作时,作者对此方法并未知晓。
虽说古希腊和古罗马的绘画主要遵从光学体系。但是,天主教的神秘主义却使得艺术家又回到了概念透视体系,因为他们满足于描绘象征性的内容。换句话说,他们的绘画主题和背景倾向于表现宗教题材。因此,绘画表现的是宗教情感,而不是现实生活中的人和世界。这种风格在中世纪十分流行,持续了1000多年。特点是画面呆板生硬、毫无生气,背景通常总是金黄色的,为了强调宗教主题而与现实世界没有关联,更谈不上有任何空间关系。
文艺复兴的典型特点是,艺术家们朝向写实主义方向前进,在这个过程中数学开始进入艺术领域,引入了第三维,这只能通过光学系统的表达才能实现。从此以后,艺术家们就可以在绘画中处理空间、体积、距离、质量等的视觉印象。与此同时,现实中活脱脱的人成为宗教题材的主题,按照实际构图的画面富有生机。终于在13世纪,近代绘画之父乔托在意大利诞生。“从此以后,艺术史就成了艺术家的历史。”
在我们介绍达·芬奇和丢勒出场以前,先来提及一位稍微年长的画家,那就是波提切利(Botticelli,1445—1510),他因为《维纳斯的诞生》和《春》这两幅大型作品闻名于世。虽然不合比例的夸张说明写实主义并非目的,但仍很好地利用了精确的透视法。作者于上个世纪末造访佛罗伦萨时,有幸在乌菲奇美术馆欣赏了这两幅作品,后者的每一个次要人物都比前者的出色,唯独维纳斯略为逊色,这几乎毁了整幅作品。
达·芬奇
1452年4月15日,正当阿尔贝蒂完成他的力作《论建筑》,达·芬奇(Leonardo Da Vinci,1452—1519)出生在佛罗伦萨附近的小镇芬奇。但那是儒略历,即罗马独裁官尤利乌斯·恺撒在公元前45年元日颁布实施的日历,儒略是尤利乌斯的另一种翻译。1582年,教皇格里高利十三世依据医生兼哲学家里利乌斯(Lilius)的建议,开始执行如今我们使用的公历。
达芬奇«自画像»(1516—1518)
那样的话换算过来,达·芬奇的生日刚好是公历1452年4月23日,这正是英国大文豪莎士比亚的疑似生日,也是莎士比亚与西班牙大文豪塞万堤斯共同的忌日。之所以说是疑似生日,是因为莎士比亚的洗礼日记载为4月26日,而按照他故乡的传统,一般是出生后三日之内洗礼,因此人们有意无意地把他的生日算到他的忌日。1995年,联合国教科文组织将每年的4月23日确定为世界图书和版权日,简称为世界读书日。
与阿尔贝蒂一样,达·芬奇也是个私生子,他的父亲是一位公证人和地主,母亲是个农妇。父亲结了三四次婚以后,才有了正式的孩子,那时达·芬奇已经24岁了。他自小就在父亲家中长大,虽然被视为嫡出,但仍受到社会的歧视,他只接受了初等的教育,尚没有机会学习拉丁语。15岁前后,他被送到佛罗伦萨的一个私人工作室做学徒,学习绘画、雕刻和机械工艺。(www.xing528.com)
30岁那年,达·芬奇去了米兰,为大公效力。这是他人生迈出的重要一步,他在米兰一共待了17年。达·芬奇认真阅读了前辈艺术家写的书籍和文章,包括阿尔贝蒂的《论建筑》,德拉·弗朗西斯卡的《绘画透视学》。他还自学了高等数学和算术,并对几何学做了一番研究。他那著名的素描《维特鲁威人》就是在米兰完成的,被认为是比例和黄金分割比的典范。
达芬奇素描«维特鲁威人»(约1487)
在这样的环境下,达·芬奇开始萌生“绘画科学”的概念,并希冀撰写自己的艺术理论。他要观察用肉眼可以看见的世界中的一切事物,辨认其结构和形式,并按照其本来面目用图像手段加以描绘。也是在米兰期间,他在圣玛利亚慈悲教堂里,完成了壁画《最后的晚餐》(1495—1497)。上个世纪末,我有幸在米兰欣赏了这幅名画,它位于破旧不堪的多明我修道院的餐厅里,这幅画让米兰生辉。
记忆里修道院的门口排着长队,为了看这一幅壁画,门票比一整座巴黎卢浮宫还贵,后者收藏了达·芬奇的另一幅名画《蒙娜丽莎》。参观者每20人编成一组,每组只能在里面停留15分钟,作者非常幸运,在下班前刚好轮到,后面的人只好改天再来了。这是一座长方形的餐厅,《最后的晚餐》差不多占满了较窄的那面墙,画中12个门徒分成三组,每组四人。
据说此画描绘了基督说完“你们中间有人出卖了我”这句话时众门徒的表情,其中犹大是唯一脸部阴暗的一位。不由让人想起西方人把13视作不吉祥的数字,或许也与这件事有关。我注意到对面的墙壁上还有一幅画,画面一样大小,是同时代的一位无名小卒所作,观众往往会不经意地瞄上几秒钟,作为眼睛和思想的一种休息,那情景使我想到,一位美女常常会有一位长相平平的女友陪伴。
达·芬奇在米兰结交的一个好朋友是波提切利的同龄人、数学家帕西奥利(Luca Pacioli, 1445—1517)。帕西奥利比达·芬奇大七岁,出生在佛罗伦萨东南80公里处的一座小镇,是德拉·弗朗切斯卡的同乡。后者比帕西奥利年长30岁,艺术史家推测,帕西奥利曾向这位同乡学习几何学和透视原理。不仅如此,弗朗切斯卡所作的圣方济各画像,疑似是以年轻的帕西奥利为模特。
帕西奥利25岁那年来到罗马,在阿尔贝蒂的工作室学习。后来,他旅行了不少地方,讲授数学和军事科学。直到有一年,他被与他同龄的米兰大公卢多维科·斯福尔扎(Ludovico Sforza,1452—1508)雇佣。这位新雇主地位显赫,极力庇护艺术家和科学家,甚至佛罗伦萨的梅第奇家族也向其示好,于1482年派遣精通音乐的达·芬奇携带竖琴作为礼物前来觐见,结果被大公留了下来。帕西奥利到来时,达·芬奇正在为大公家族的圣玛丽慈悲修道院绘制壁画《最后的晚餐》。
1494年,帕西奥利发表了《论算术几何的比例及比例谐和》,书中提出了复式记账法,他因此被认为是“会计学之父”。1497年,他又出版了《神圣比例论》,谈及了黄金分割率在数学和包括建筑在内的艺术中的重要性。达·芬奇向帕西奥利学习几何学和透视原理,他也为他的朋友画了许多人体插图。同样,帕西奥利也是达·芬奇的欣赏者。达·芬奇甚至在《绘画专论》里这样写道:“欣赏我作品的人,没有一个不是数学家。”他坚持认为,绘画的目的是再现世界,而绘画的价值在于精确地再现。
达·芬奇认为,绘画是一门科学,它像所有其他科学一样,以数学为基础,“任何人类的探究活动都不能称为科学,除非这种活动可以通过数学表达出来或利用数学证明来开通自己的道路”。卡尔·马克思后来也表达过类似的意思,但无疑达·芬奇是最早阐明这一点的,他鄙视那些轻视理论而声称仅仅依靠实践就可以艺术创作的人,而将透视学视作绘画的“舵轮与准绳”。
1500年,在被法国人攻陷三个月以后,达·芬奇在好友帕西奥利陪同下离开了米兰城。他们在曼图亚和威尼斯稍作停留,然后返回了佛罗伦萨。数学研究似乎占据了达·芬奇的多数时间,他还研究解剖学、物理学和化学,绘画被他暂时丢开了。达·芬奇曾给出毕达哥拉斯定理一个新的证明,但并不那样简洁。有时,他也有深刻的观察,例如,他曾在笔记本上偷偷写道:“太阳是不动的!”这意味着他对托勒密发展完成的“地心说”的质疑。
大约三年以后,达·芬奇又专心于画画,他在故乡缓慢地完成了杰作《蒙娜丽莎》(1503—1517)。至于原型恐怕已是千古之谜,有说是米兰大公的女儿,也有说是佛罗伦萨一位官员的第三任太太。之后他一直把此画带在身边,直到在暮年接到法兰西国王弗兰西斯一世的邀请,成为国王的“首席画师、建筑师和机械师”。他在法国卢瓦尔河畔的昂布瓦斯度过了生命最后的三年,《蒙娜丽莎》一直挂在他的卧室里。如今,她已成为巴黎卢浮宫的镇馆之宝。
达·芬奇在数学方面富有远见卓识,可谓是柏拉图主义的忠实信徒,但他的数学研究尚停留在业余水平,尽管爱因斯坦对他的多才多艺给予高度评价。英国科学史家李约瑟在评价中国古代科学水平时,也似乎暗示了这一点,他声称:“可以肯定的是,中国(古代)科学所达到的境界是达·芬奇式的,而不是伽利略式的。”
值得一提的是,达·芬奇的个人生活一直是个谜。从16世纪开始人们就有各种臆测,20世纪以来,随着弗洛伊德学说的兴起,有关他是同性恋的推测不时浮现。事实上,陪同达·芬奇暮年去法国度过余生的是一位出身高贵的年轻伯爵梅尔齐(Melzi)。梅尔齐是达·芬奇最喜欢的学生,在艺术家去世以后继承了他的艺术和科学作品、手稿和收藏,并管理了他的遗产。
1519年5月2日,67岁的达·芬奇在法国逝世,死因可能是中风,临终之际请来一位牧师为他忏悔。按照瓦萨里的描述,画家死后,国王把他的头抱在自己的怀里。按照达·芬奇的意愿,60个拿着锥子的乞丐列队跟随他的棺材。除了梅尔齐,画家还把他的葡萄园分赠给另一个学生和他的仆人。他的兄弟们得到了土地,侍女得到了毛皮大衣。同年8月12日,达·芬奇的遗体被安葬在安布瓦兹酒庄的圣佛罗伦萨学院教堂。
丢勒
在达·芬奇之后,意大利的其他画家和建筑师也对数学有着浓郁的兴趣,包括与达·芬奇合称为“文艺复兴绘画三杰”的米开朗琪罗和拉斐尔。他们力图把数学应用于艺术,除了透视法,还利用高超而惊人的技巧掌握、发展了古希腊人创立的前缩法。在这些后辈艺术家中,将数学与艺术结合得最为出色的当数前文已提及的德国画家丢勒。
丢勒«自画像»(1500)
丢勒的故乡纽伦堡在德国的巴伐利亚,他的父亲是个成功的首饰匠,出生在匈牙利东南靠近罗马尼亚边境的久洛(Gyula)附近,28岁那年移居纽伦堡。丢勒的姓氏Ajtos原本对应于德语里的Turer,而按照纽伦堡人的发音习惯,才改为Durer。起初,家人也想把他培养成家族的继承人,但他在作坊里学会了绘画,并在13岁时照着镜子逼真地画出自己的肖像画(2) 。
丢勒请求父亲让自己学作画,结果父亲答应了,他的一个兄弟继承了家业。父亲送丢勒进了当地一家画室,三年学徒期间,他学到了各种绘画技巧,尤其是木刻插图和铜板技巧,之前他的同胞谷登堡发明了活字印刷。出师以后,丢勒走出画室,漫游了四年,沿着莱茵河到达法兰克福、科隆和巴塞尔,并远至尼德兰(荷兰)。23岁那年,他与故乡的一位音乐家的女儿阿格列萨结了婚,那年他曾为新娘画过一幅素描。
丢勒第一件伟大的作品是《启示录》,这是由14幅版画组成的杰作。《启示录》是《圣经》里最后一篇充满恐怖奇想的经文,告诫信徒若不笃信基督,将会遭受惩罚。其中最有代表性的一幅是《四骑士》,骑士们或拉弓射箭或举剑挥砍,举起的空天平象征饥饿,而枯瘦的老人代表死亡,胯下的战马正无情地践踏倒下的人群。这是当时德国真实生活的反映,正是在这种历史气候下,16世纪初马丁·路德开始了宗教改革。
之后又有12年时间,丢勒携家侨居国外,期间两次在意大利长住。从意大利画家那里,他学到了透视法并进行了一番研究,画出了多幅木刻来说明如何利用截景绘画。除了上一节介绍的《为躺着的妇人作画》,还有《为坐着的男子作画》,以及《画罐》《画琵琶》等。后来,他把意大利人的发明带回到德国,使之流行于欧洲的北方。
为此,丢勒写作了一本广为流传的小册子《直尺圆规测量法》。这本书是关于几何学的,但也谈到了透视法。他认为,创作一幅画的透视基础不是信手涂画,而应该依据数学原理构图。在丢勒的影响下,18世纪初的英国数学家泰勒(以发明泰勒公式和泰勒级数闻名)、法国数学家兰伯特(证明圆周率是无理数)都撰写过透视学的权威著作。
1505年,丢勒再次来到意大利,这次他不仅为了学习取经,也为了他的作品被人抄袭讨个公道。74岁高龄的威尼斯画派领袖贝里尼(提香的老师)接见了他,询问比自己年轻40岁的德国才俊能否给一支他用过的画笔。在那个年代艺术家还带有手工特技和师徒传艺的风俗,画家自制的绘画工具和材料常常带有保密的性质,就像达·芬奇用左手反写“反字”的笔记本一样。
原来,贝里尼(Giovanni Bellini, 1430—1516)见到丢勒画的人物须发特别纤细流畅,故而认为他一定有特殊的画笔。没想到丢勒拿出一大把很普通的画笔,让老画家随意挑,并当场画出“一缕柔软纤细波浪式的女性秀发”。事实上,丢勒本人的自画像里也有卷曲优雅的头发。目睹此情此景,贝里尼大为赞叹,出高价购买丢勒的画作,这等于帮丢勒做了很大的宣传广告。
丢勒«忧郁»(1514)
丢勒可能是文艺复兴时期所有艺术家中数学造诣最深的人。在《直尺圆规测量法》一书中,他谈到了空间曲线及其在平面上的投影,还介绍了外摆线,即一个圆滚动时圆周上一点的轨迹。更有甚者,丢勒考虑到了曲线或人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影,这个想法极其前卫,直到18世纪才由法国数学家蒙日发展出一门数学分支,叫画法几何,蒙日并以此在数学史上奠定地位。
1514年5月17日,丢勒深爱的母亲病故,他陷入一种悲哀。当年晚些时候,丢勒创作了铜版画《忧郁》寄托哀思,画面前方有个左手扶额作沉思状的坐着的青年女子,背景里有球、多面体等几何图形和一束光芒,右边房屋的窗子实为一个四阶幻方,即各行、各列和两条对角线元素之和均为34。
事实上,此幻方九个二阶小矩形中,有五个(四个角和中央)的元素之和也为34;还有四个顶点和任意三阶矩形或任意斜矩形的顶点之和也为34。幻方的出现无疑加重了画面的抑郁气氛和神秘感,也帮助它成为一幅世界名画。更有意思的是,幻方的最后一行中间两个数恰好组成了画作的完成年份,即1514(还有研究者发现5和17在其中的隐秘关系)。由此可见,丢勒对如何构筑幻方已经游刃有余。
虽说在中国,13世纪的南宋数学家杨辉的幻方更早出现,印度克久拉霍(Khajrāho,10—11世纪月亮王朝的故都)耆那教寺庙墙上的幻方更为完美,但因为丢勒同时也是著名的画家,所以他的幻方最为著名。丢勒以其观察的精微和构思的复杂,将其丰富的思维与热烈的理想结合在一起,产生了一种独特的效果。晚年的丢勒致力于艺术理论和科学著作的写作,包括绘画技巧、人体比例和建筑工程,并且他亲自为这些书制作插图。
丢勒在书中写道:“出自一切作品的东西,要数漂亮的人体最能使我们感到愉快,所以我就从人体比例写起。”他还曾经这样说过:“求知,以及通过求知去理解一切事物的本质,这是一种天赋……而真正的艺术,是包含在自然之中的,谁能发掘它,谁就掌握它。”
(1)利布里担任法国图书馆巡查员期间,偷窃了大量古书,当被发现时,他逃往英国,携带着１８个大箱,里头装着三万本书和手稿.他在法国被缺席判处１０年监禁. 一些被盗的作品在他死后被归还,但仍有许多失散.
(2)丢勒后来还画了蓟花自画像、风景自画像、皮装自画像(见插图)等,享有“自画像之父”的美誉.
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