数学与艺术：神奇的相互关系

数学发现的动力不是理性,而是想象。

——[英]奥古斯都·德·摩根

真正的艺术是包含在自然之中的。

——[德]阿尔布雷特·丢勒

公元前11世纪,周文王之子、周武王之弟周公在洛水北岸建造了洛阳,后来成为东周国都。与周公同时代的大夫商高是西周初年的数学家,他率先指出了第一组勾股数:“勾广三,股修四,径隅五。”这就意味着:

32+42=52

此乃勾股定理的特例,后者是中国数学家的独立发现,比古希腊的毕达哥拉斯定理要早。据中国最早的数学典籍之一《周髀算经》记载,一次周公在镐京问商高:“听说大夫擅长数学。天没有台阶可攀登,地又不能用尺寸测量,请问数是怎样得来的?”商高回答:“数是根据圆和方的道理得来的,圆从方来,方又从矩来,矩是依据乘法表来的。”周公曰:“大哉言数!”

美索不达米亚位于底格里斯河和幼发拉底河中下游,也即今伊拉克境内。古老的两河流域孕育了灿烂的文明,从苏美尔人到巴比伦人,都使用楔形文字,并将其刻写在软泥板上,泥板晾干后像石头一样坚硬,加之气候炎热,得以长期保存。在已发掘出的50多万块泥板书中,大约有300块是有关数学的。美国耶鲁大学博物馆收藏了不少公元前2000年至前1600年间的泥板书,其中一块编号7289,记载了的近似值,用60进制表示如下:

≈1+++=1.41421296

这是相当精确的估计,因为的正确值为1.41421356…。现藏于纽约哥伦比亚大学,编号普林顿322号的泥板书则显示,古巴比伦人已经知道了勾股数组,其中最小的一组为(45,60,75),恰好是商高给出的那组数的15倍。

古巴比伦人计算出的近似值,精确到小数点后５位

上述例子或许可以说明,勾股数(毕达哥拉斯数组)可能是人类最早发现的自然数奥妙之一。同样,数学可能是自然科学中最早出现的两门学科之一,另一门是天文学,它们同属于毕氏学派所倡导的“四艺”。在古代,天文学家通常也是数学家,正如戏剧家往往同时也是诗人。

数学诞生于游牧时代,那时人们的主要财产是牲畜。为了计算它们的只数,人们便学会了计数,继而学会了加法和减法。与此相应的是,诗歌可能是最早出现的文学形式,不过那时恐怕已进入农耕时代,人类已择地居住下来了。由于缺少科学技术和其他手段,为了有好的收成,人们只能祈求上苍风调雨顺。为此需要祷告即念念有词,诗歌因此诞生。而在艺术史上,最古老的创作形式可能要数岩画(Petroglyph),这方面有据可查。(www.xing528.com)

法国拉斯科的史前岩画

西班牙阿尔塔米拉洞顶的野牛画像

1879年和1940年,一对西班牙父女和四位法国儿童先后发现了15000年前的史前岩画,分别是在西班牙北部桑坦德市的阿尔塔米拉(Altamira)岩洞和法国南方多尔多涅省的拉斯科(Lascaux)岩洞里。这两个岩洞的墙壁上都刻画有许多野牛、长毛象和驯鹿等动物,它们是冰河时代人类用简陋的石头或骨头工具完成的。而在我国大西北,宁夏回族自治区中卫市的黄河北岸,方圆450平方千米的大麦地岩洞里,也有一万多幅史前岩画,其中一部分属于旧石器晚期到新石器时代。

学者们猜测,那些原始狩猎者可能认为,只要他们画了狩猎图,再用长矛或石斧痛打一番,真正的野兽便会束手就擒。显而易见,最初的数学和艺术是各自独立产生的,都源于人类生存的需要。那么它们在历史的长河里是如何发展、相遇而又碰撞的呢?这是本书想要探讨的问题。正如代数与时间艺术——音乐有着较为密切的关系,空间艺术——绘画也与几何相互作用。进一步,不同时期的绘画与几何之间,又存在着不一样的相互关系。例如,文艺复兴艺术与欧氏几何,毕加索的立体主义与非欧几何,后现代主义艺术与分形几何。

20世纪美国数学史家莫里斯·克莱因(Morris Kline,1908—1992)认为,“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认,“只有紧紧地依靠数学,才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵”。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限,才使得接下来的17世纪成为“天才的世纪”,且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海(Alfred Whitehead,1861—1947)在列举了诸多伟大发现之后感叹道,“这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来”。

相比之下,音乐与数学的关系更为隐秘,但历史却更加悠久,肇始于毕达哥拉斯时代。有一天,这位哲人走过一家铁匠铺,听到了叮叮当当的声音,他经过研究,发现了音程之间的数的关系,继而提出了“万物皆数”这一哲学论断,持续影响了后世的欧洲文明。而到了18和19世纪,德意志的名山哈茨山南北两侧,两座地理上对称的小城爱森纳赫和不伦瑞克,相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”,后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》,他还提出了调性网络的概念,如今仍应用于和声学的研究。

高斯是非欧几何学的三位发现者之一,另一位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名,但有一句话流传后世,“从虚无中,我开创了一个新的世界”。非欧几何学大大拓宽了数学的研究领域,它与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中,球面上的直线是大圆(圆心在球心的圆),两点间的最短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如,从上海飞纽约的最短航线不是经过太平洋,而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此,引力源于时空弯曲,光沿着弯曲的弧线传播。

鲍耶去世七年以后,诞生了二元政体的奥匈帝国,而在他去世前四年,奥地利医生弗洛伊德已经出生,他后来创立了精神分析学,对现代主义艺术进行了细致的剖析。弗洛伊德与布洛伊尔合著的《癔病研究》是所谓的自动写作法的延伸,而他的《梦的解析》是一部具有划时代意义的巨著,书中分析了梦的工作和基本活动,认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望,所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念,为潜意识学说奠定了基础,堪称人类认识自身的里程碑。特别地,弗洛伊德的学说深刻地影响了超现实主义诗歌和绘画。

进入20世纪以来,抽象化成为数学和艺术的共性,我们各举它们的两个主要分支——拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例,说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表,而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中,也有两个有着颇为相似的风格特征,那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是,弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说,还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。

说到数学和艺术的关系这个主题,有许多科学家(包括诺贝尔奖得主)和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到,他们更关注数学和艺术的外在形式,比如对称之美(也有的在方法论上做过探究)。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性,似乎还没有人做过系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。正如西班牙哲学家乔治·桑塔耶纳所言:“机智的特征在于深入到事物的隐秘深处,从中找寻到相互关系。”幸运的是,本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索,有着第一手的经验和认识,加以适当的提炼和总结,写成了这本小书,期待得到各方读者的批评指正。

值得一提的是,1997年元月,我获得机会申报霍英东教育基金会的高等学校青年教师基金项目,决定以“数学与艺术”为题并列好目录和写作计划,随后冒昧打电话给有一面之交的数学家吴文俊先生(中国科学院院士、首届国家最高科学技术奖得主),没想到吴老先生认为这是创新项目,值得一试,他欣然同意,并亲笔撰写了推荐书。遗憾的是,那次申请没有成功,我也没有再见到吴老。20多年过去了,教育部设立人文社科专项科普基金,我以“数学与艺术”为题再次申报,终获成功,也算可以告慰吴先生在天之灵了。

2020年秋天,杭州