2016考研数学（三）名师精选：矩估计量与最大似然估计

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）已知函数f（x）在（-∞，+∞）上二阶可导，且f″（x）＞0，，则当x＞1时，f（x）

（A）单调减少且大于零. （B）单调减少且小于零.

（C）单调增加且大于零. （D）单调增加且小于零.

[ ]

（2）设二元函数z=z（x，y）满足，且z（x，0）=x²，z（0，y）=y，则z（x，y）为

[ ]

（3）设φ（x）是[0，1]上的正值连续函数，a，b为常数，则当区域D={（x，y）|x²+y²≤1}时，

（A）πa. （B）πb. （C）π（a+b）. （D）.

[ ]

（4）设级数和，则

（A）如果，则和中至少有一收敛.

（B）如果，则和中至少有一发散.

（C）如果，则由收敛可推得收敛.

（D）如果，则由发散可推得发散.

[ ]

（5）设A是n阶实矩阵，则方程组Ax=0有解是方程组A^TAx=0有解的

（A）必要而非充分条件. （B）充分而非必要条件.

（C）充分必要条件. （D）既非充分又非必要条件.

[ ]

（6）设A=（α₁，α₂，α₃，α₄）是4阶实对称矩阵，A^∗是它的伴随矩阵.如果（1，1，0，0）^T，（1，0，1，0）^T和（0，0，1，1）^T是方程组A^∗z=0的一个基础解系，则二次型f（x₁，x₂，x₃，x₄）=x^TAx（其中x=（x₁，x₂，x₃，x₄）^T的标准形应形如

（A）a₁y²₁+a₂y²₂+a₃y²₃.（B）b₁y²₁+b₂y²₂.

（C）c₁y²₁.（D）d₁y²₁+d₂y²₂+d₃y²₃+d₄y²₄.

（其中a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，c₁，d₁，d₂，d₃，d₄都是非零常数）.

[ ]

（7）设随机变量X与Y相互独立，都在（0，a）上服从均匀分布，则随机变量Z=max{X，Y}的概率密度为

[ ]

（8）设X～N（a，σ²），Y～N（b，σ²），且相互独立.现分别从总体X和Y中各抽取容量为9和11的简单随机样本，记它们的方差分别为S²_X和S²_Y，并记，，则上述四个统计量S²_X，S²_Y，S²₁₂和S²_XY中方差最小者为

（A）S²_X. （B）S²_Y. （C）S²₁₂. （D）S²_XY.

[ ]

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)已知f(x)是连续函数，且满足

则f″（0）=____.

（10）设二元可微函数z=z（x，y）由方程确定，则.

（11）.

（12）设2阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0有特解y₁=e^xcosx，y₂=e^xsinx，则2阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=cosx的通解为____.

（13）设n阶矩阵A满足AA^T=E_n，|A|＜0，则|A+E_n|=____.(www.xing528.com)

（14）设存在常数a，b（b≠0），使得P（Y=a+bX）=1，则随机变量X与Y的相关系数ρ=____.

三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数y=f（x）在[0，+∞）上有连续的导数，且满足

求y（n）（x）.

（16）（本题满分10分）

设二元函数

求二重积分，其中D：x²+y²≥ax（a＞0）.

（17）（本题满分10分）

设a₀=1，a₁=-2，，，求幂级数的收敛域与和函数s（x）.

（18）（本题满分10分）

设函数f（x）在[0，1]上连续，证明：

（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得；

（Ⅱ）当f（x）在（0，1）内可导且满足（1-x）f′（x）＞2f（x）时，（Ⅰ）中的ξ是唯一的.

（19）（本题满分10分）

某厂制造某种电器，固定成本为400万元，每生产一件产品成本增加0.8万元，总收益R（单元：万元）是月产量x（单位：件）的函数

并且总纳税金T（单位：万元）是x的函数

求该厂月产量x为多大时总利润最大，并求最大总利润.

（20）（本题满分11分）

设α₁，α₂，α₃，α₄为4维列向量组，其中α₁，α₂，α₃线性无关，α₄=α₁+α₂+2α_3.已知方程组

（α₁-α₂，α₂+α₃，-α₁+aα₂+α₃）x=α₄

有无穷多解.

（Ⅰ）求常数a的值；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中求得的a值，计算方程组的通解.

（21）（本题满分11分）

已知矩阵可相似对角化.

（Ⅰ）求常数a的值；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中求得的a值，求正交变换x=Qy（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T，y=（y₁，y₂，y₃）^T，Q是正交矩阵），将二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx化为标准形.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

记Z=min{X，Y}，求Z²的数学期望E（Z²）.

（23）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为其中θ＞-1为未知参数，X₁，

X₂，…，X_n为来自X的一个简单随机样本.求

（Ⅰ）θ的矩估计量；

（Ⅱ）θ的最大似然估计量.