2016考研数学（三）名师精选题，附答案

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题曰要求的，请将选项前的字母填写在答题纸指定位置上.

（1）设函数，则y（n）为

[ ]

（2）设二元函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处的三个2阶偏导数f″_xx（x，y），f″_xy（x，y），f″_yx（x，y）存在，则必有

（A）f″_xy（x₀，y₀）=f″_yx（x₀，y₀）. （B）f_x′（x，y）在点（x₀，y₀）处可微.

（C）f_x′（x，y）在点（x₀，y₀）处连续. （D）f_x′（x，y₀）在点x₀处可微.

[ ]

（3）级数

（A）绝对收敛. （B）条件收敛.

（C）发散. （D）收敛或发散与α取值有关.

[ ]

（4）设y₁，y₂是非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy₁+μy₂是该方程的解，λy₁-μy₂是该方程对应的齐次方程的解，则

[ ]

（5）设矩阵方程AX=B（其中A是m×n矩阵，B是m×l矩阵，X是n×l未知矩阵），则该方程有无穷多解的充分必要条件为

（A）r（A︙B）=r（A）=n. （B）r（A︙B）=r（A）＜n.

（C）r（A︙B）＞r（A）. （D）r（A︙B）=r（A）.

[ ]

（6）设A，B都是n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件为

（A）r（A）=r（B）.

（B）|A|=|B|.

（C）A，B的特征值相同.

（D）分别以A，B为矩阵的二次型有相同的规范形.

[ ]

（7）设X，Y是随机变量，其中X～N（1，1），概率密度为f₁（x），Y的概率密度为记则当f（x）是概率密度时，a，b应满足

[ ]

（8）设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，其中X服从参数λ的指数分布.记样本均值为，方差为S²，则当为的无偏估计量时，常数a为

（A）3. （B）. （C）. （D）.

[ ]

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）.

（10）.

（11）设二元函数f（u，v）可微，则.

（12）幂级数的收敛域为____.(www.xing528.com)

（13）设矩阵及3阶矩阵B，它们满足r（B）=2，r（AB）=1，则λ=____.

（14）设A，B，C是相互独立事件，且P（A）=0.4，P（B）=P（C）=0.5，则概率P（A-C|AB∪C）=____.

三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数y=φ（ψ（x）），其中求φ′（ψ（x））x=0与[φ（ψ（x））]′_x=0.

（16）（本题满分10分）

已知二元连续函数f（x，y）满足，求二重积分∬，其中D是由曲线x=y²和直线x=1围成的区域.

（17）（本题满分10分）

某厂家生产的一种产品同时在A，B两个市场销售，每件产品售价分别为p₁和p₂，需求函数分别为q₁=3-0.5p₁和q₂=2-3p₂，总成本函数为.如果A市场的价格对B市场的价格弹性为2，且p₂=1时，.试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？

（18）（本题满分10分）

设f（x）是[0，1]上非负、单调减少的连续函数，证明：

（19）（本题满分10分）设幂级数，求

（Ⅰ）该幂级数的和函数s（x）及其定义域；

（Ⅱ）方程的实根个数.

（20）（本题满分11分）

设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量组.已知

Aα₁=α₂+α₃，

Aα₂=α₁+aα₃，

Aα₃=α₁+α₂，

问：a为何值时，A不能相似对角化？

（21）（本题满分11分）

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T，A是3阶实对称矩阵）经正交变换x=Qy（其中y=（y₁，y₂，y₃）^T，Q是正交矩阵）化为标准形2y²₁-y²₂-y²₃.又设A^∗α=α（其中A^∗是A的伴随矩阵，α=（1，1，-1）^T）.求

（Ⅰ）Q及A；

（Ⅱ）可逆线性变换x=Cz（其中z=（z₁，z₂，z₃）^T，C是可逆矩阵），它将f（x₁，x₂，x₃）化为规范形.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X是连续型的，它的概率密度为随机变量Y是离散型的，它的概率分布为

（Ⅰ）当X与Y相互独立时，求Z=XY的分布函数F_Z（z）；

（Ⅱ）求Cov（X，X²）.

（23）（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X～N（0，1）的简单随机样本，，S²分别是它的均值与方差，求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.