最大似然估计量的极限分布

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）设函数g（x）满足g（1）=0，g′（1）=-1.记

则f′（1）为

（A）0. （B）1. （C）-1. （D）不存在.

[ ]

（2）函数的极大值与极小值分别为

（A）1，-1. （B）-1，1. （C）不存在，-1. （D）1，不存在.

[ ]

（3）设二元函数（其中f是连续函数），则为

[ ]

（4）设曲线y=y（x）在点M（0，1）处的切线斜率为，且y（x）满足微分方程yy″+（y′）²=0，则y（x）为

（A）. （B）.

（C）y²=x+1（x≥-1）. （D）y²=x+1（x≥0）.

[ ]

（5）设A是n阶矩阵，α是n维非零列向量，记，且r（A）=r（B），则线性方程组

（A）Ax=α有无穷多解. （B）Ax=α有唯一解.

（C）By=0有非零解. （D）By=0只有零解.

[ ]

（6）设矩阵，则下列矩阵中与A合同且相似的是

[ ]

（7）设随机变量X服从指数分布，它的概率密度为

则随机变量的分布函数

（A）是连续的. （B）只有一个间断点.

（C）只有两个间断点. （D）多于两个间断点.

[ ]

（8）设X₁，X₂，…，X₈是来自总体X～N（0，σ²）的一个简单随机样本，则统计量服从

（A）F（4，2）. （B）F（4，4）. （C）F（1，1）. （D）F（2，4）.

[ ]

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数f（x）在点x=0处二阶可导，且，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为____.(https://www.xing528.com)

（10）由拉格朗日中值定理知，对任意x∈（0，1），对应地存在唯一的ξ（x）∈（0，x），使得，则极限.

（11）设函数则定积分

（12）设二元函数，其中φ（u，v）具有2阶偏导数，且满足φ″_uv+，则z″_xy=____.

（13）设A是m×n矩阵，且其列向量组线性无关；B是n阶矩阵，满足AB=A，则r（B^∗）=____.

（14）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则

D（X+Y²）=____.

三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求不定积分∫f（x）dx，其中函数f（x）=|x+1|+2x.

（16）（本题满分10分）

设函数其中y=y（t）是微分方程解.求f″（t）.满足y（0）=0的

（17）（本题满分10分）

设f（x）是连续函数，且满足，以及.求f（x）在上的平均值.

（18）（本题满分10分）

求二元函数f（x，y）=x²+2y²-x²y²在闭区域D={（x，y）|x²+y²≤1，，y≥0}

上的最大值与最小值.

（19）（本题满分10分）

设二元函数u=u（x，y）具有2阶连续偏导数，且满足u″_xx=u″_yy，u（x，2x）=x，u_x′（x，2x）=x².又设D是由半圆x²+z²=1（z≥0），曲线z=u″_xx（x，2x），z=u″_xy（x，2x）围成的平面图形，求D的面积.

（20）（本题满分11分）

设向量α=（1，2，1）^T，，γ=（0，0，8）^T.记A=αβ^T，b=β^Tα，求线性方程组2b²A²x=A⁴x+b⁴x+γ的通解.

（21）（本题满分11分）

设实对称矩阵，求使二次型f₁（x₁，x₂，x₃）=x^TAx与f₂（x₁，x₂，x₃）=x^TA^∗x（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T）都化为标准形的正交变换x=Qy（其中y=（y₁，y₂，y₃）^T，Q是正交矩阵），并写出它们的标准形.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为，求

（Ⅰ）随机变量Y=X²的概率密度φ（y）；

（Ⅱ）求E（|Y-X⁴|）.

（23）（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，其中X的概率密度为.求当n无限增加时，未知参数θ的最大似然估计量θ∧所近似服从的分布.