2020考研数学试题正交矩阵P及对角矩阵Λ的求解方法

一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数的可去间断点个数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.

[ ]

（2）设函数仅有单调减少区间，则常数a等于

（A）-2. （B）-1. （C）0. （D）1.

[ ]

（3）设函数f（x）连续，且f（0）=f′（0）=0，

则F″（0）为

（A）1. （B）. （C）. （D）0.

[ ]

（4）设D是由曲线x²-y²=1与直线x=2围成的平面图形，则二重积分为

[ ]

（5）设A是n（n≥2）阶反对称矩阵，A^∗≠O，则A^∗为对称矩阵是n为奇数的

（A）充分而非必要条件.（B）必要而非充分条件.

（C）充分必要条件.（D）既非充分又非必要条件.

[ ]

（6）设矩阵A与相似，则r（A-2E₃）+r（A-E₃）为

（A）2. （B）3. （C）4. （D）5.

[ ]

（7）设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为

则以下结论不正确的是

（A）X与Y相互独立.

（B）EY=2.

（C）X在Y=y＞0条件下的条件概率密度f_X|Y（x|y）=e^-x.

（D）关于X的边缘分布函数.

[ ]

（8）设X₁，X₂，X₃，X₄是来自总体X～N（0，2²）的简单随机样本，则统计量的方差D（Z）为

（A）4. （B）3. （C）2. （D）1.

[ ]

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）极限

（10）函数则定积分(https://www.xing528.com)

（11）设函数f（u，v）具有连续偏导数，且在点（1，0）的充分小邻域内，

记 g（x，y）=f（e^y，x+y），则dg（x，y）（0，0）=____.

（12）设f（x，y）是二元连续函数，则二次积分在直角坐标系中先x后y的二次积分为____.

（13）设矩阵，，，则矩阵.

（14）设随机变量X，Y的概率密度同为已知事件A={X＞a}，B={Y＞a}相互独立，且，则常数a=____.

三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限

（16）（本题满分10分）

求由直线y=x及曲线y=x²围成的平面图形分别绕直线y=1和y轴旋转一周而成的旋转体体积.

（17）（本题满分10分）

求a=1与a=2时微分方程y″+a²y=sinx+2cos2x的通解.

（18）（本题满分10分）

（Ⅰ）证明：当|x|充分小时，有0≤tan²x-x²≤x⁴；

（Ⅱ）设，求极限

（19）（本题满分10分）

设f（x，y）是二重积分在直角坐标系中的被积函数，其中

（Ⅰ）求f（x，y）的表达式与I的值；

（Ⅱ）记，求.

（20）（本题满分11分）

设向量组（A）：α₁=（1，0，1）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（1，3，5）^T与向量组（B）：β₁=（1，1，1）^T，β₂=（1，2，3）^T，β₃=（3，4，a）^T等价，求

（Ⅰ）常数a；

（Ⅱ）（A）由（B）的线性表示式.

（21）（本题满分11分）

设矩阵，正交变换x=Qy（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T，y=（y₁，y₂，y₃）^T），将二次f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx化为标准形，其中正交矩阵Q的第1列为，求

（Ⅰ）常数a及f的标准形；

（Ⅱ）A^∗能否正交相似对角化？如果能写出使P^TA^∗P=Λ的正交矩阵P及对角矩阵Λ；如果不能，说明理由.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，求常数A及方差D（2X+3Y）.

（23）（本题满分11分）

设随机变量X的分布函数为

记Z=X²，Z₁，Z₂，…，Z_n是来自总体Z的简单随机样本.求未知参数α的最大似然估计量.