量子PQ掷硬币博弈的结果

Meyer 的PQ 掷硬币博弈经典版本包含以下四个步骤:

步1 裁判将一枚正面朝上的硬币放在有盖的盒子里，直到博弈结束时裁判揭开它，P 和Q 都不能看到硬币的状态，但P 和Q 都知道硬币最初的状态是正面朝上的。

步2 轮到Q 时，Q 可以抛硬币（F）或什么也不做（N）。

步3 轮到P 时，P 也可以（F）或（N）。

步4 Q 采取最后一步要么抛硬币要么不抛。

在Q 的回合结束时，硬币的状态也显示出来。如果硬币是正面朝下的，则P 赢了，P 的收益uP= +1，Q 输了，Q 的收益uQ=-1。如果硬币是正面朝上的，则Q 赢了，uQ=+1 并且P 输了，而uP=-1。

按照P 第一次抛硬币，Q 第二次抛硬币，第三次再由P 抛硬币，可以得出8 种不同的组合。在8 种不同的组合中，P 和Q 都有4 种赢+1 分的方式和4 种输-1 分的方式。当P 赢+1,Q 输-1，反之亦然，两者的收益函数可总结为:

最后，如果允许参与者P 和Q 采用混合策略，可以看出，本博弈的混合策略的纳什均衡中，参与者P 选择（N）或（F）的概率都为0.5，参与者Q 在她的（NN）、（FF）、（NF）、（FN）四个选项中选择，概率也都为0.25.这样，这些策略可以写成:(www.xing528.com)

在这种情况下，参与者P 和Q 都有期望收益:

其中初始状态为：

两个经典的策略（F）和（N），可以分别用酉变换X 和I 来描述。当参与者P 被限制在上述酉矩阵所建模的经典步法时，参与者Q 则可以在回合中执行任何酉变换。

考虑参与者Q 在两个回合中都使用Hadamard 矩阵H 的情况。在Q 的第一个回合结束之后，博弈的状态可以描述为：

通过H 的作用，Q 把博弈系统变成了叠加状态。如下式所示：

在博弈的最后一轮，Q 再次执行Hadamard 变换，撤销了Q 最初的动作：

现在，总结一下两种可能的情况，Q 在两个回合都使用Hadamard 矩阵，而P要么什么都不做，要么执行I，要么执行X：