量子贝叶斯网络在《量子人工智能引论》中展现出色

定义9.4 与CB 网络一样，QB 网络由两部分组成：标记图和节点矩阵集合。这两个部分必须满足下面将规定的某些约束。外部箭头和内部箭头、外部节点和内部节点以及根节点的定义与CB网络相同。QB网络的所有节点必须是内部的或外部的。我们给每个节点分配一个数值如下：

首先，为每个节点分配一个随机变量。假设分配给N 个节点的随机变量为x1，x2，...，xN。定义ZN={1，2，···，N}。

对于任何有限集S，定义∣S∣是S 中元素的数量。

式（9.5）必须满足：

注意，作为公式（9.5）和（9.8）的结果，给定任何QB 网络，可以构建一个特殊的CB 网络，方法是将每个节点的值Axj［xj∣（x·）Sj］替换为其幅度平方，我们称此特殊CB 网络为QB 网络的父CB 网络。在给定父CB 网络的情况下，每个节点的值都可以用其平方根乘以相位因子来代替。选择不同的相位因子，则会产生不同的QB 网络。因此，父CB 网可以用于生成整个QB 网家族。

QBpre-net 由一个带标签的图和一个伴随节点矩阵集合构成，QBpre-net满足公式（9.5），（9.6）和（9.7）但不一定满足公式（9.8）。无环的QBpre-net 满足公式（9.8），因为其父CBpre-net 是无环的。如果仅考虑无环图，则QB 网络和QBpre-net 之间就不会有差异。

在量子力学的第二个量化公式中，由M 湮灭算符（annihilation operators）a1，a2，···，aM表示的M 个模态，遵守它们之间的某些对易关系（commutation⁃relations）。

定义9.5 Z0+={0，1，2，···}，令ni∈Z0+（i=1 到M）。对于M 个模式，使用如下量子态：

公式（9.9）给出的量子态由占据数（occupation numbers）的向量（n1，n2，···，nM）指定。

定义9.6 将Γ 定义为所有α 的集合，使nα为所考虑的QBnet 的占据数。例如，nj，1中的α=（j，1），其中nj，1是xj=（nj，1，nj，2，···，nj，kj）的分量。对于任何集合Γ'={α1，α2，···，α∣Γ'∣}⊂Γ，令（n.）Γ'=（na1，na2，···，nα∣Γ'∣），

有时将（n.）Γ缩写为n.，而将（n.）Γ 缩写为n.。

定义9.8 考虑经典概率分布P（n.）。对于任何Γ0⊂Γ，可以定义特征函数χc:

在上一个公式中设置ΓE=ϕ，对于任何Γ0⊂Γ，有(www.xing528.com)

根据公式（9.10），如果Γ0和Γ′0是Γ 的不相交子集，则

公式（9.12）和（9.13）暗示

此外，从式（9.11）可知

公式（9.15）和（9.16）暗示公式（9.11）是条件概率的充分定义。

定义9.9 考虑量子力学概率振幅A（n.）。对于任何Γ0⊂Γ，定义特征函数χ

公式（9.18）右侧的分母取决于ΓE和ΓH，这与经典公式（9.11）中的类似分母不同。在量子力学中，用χc代替χ 时，对于所有Γ0⊂Γ，公式（9.12）都不成立（尽管Γ0⊂Γext成立）。在量子力学中，用χc代替χ 时，公式（9.13）和（9.14）不一定成立，而公式（9.15）和（9.16）显然总是成立。因为公式（9.15）和（9.16）在量子力学中都满足，所以公式（9.18）是条件概率的充分定义。

条件概率公式的经典和量子力学条件概率公式（9.11）和（9.18）隐含地假设对可能被测量的任何内部节点执行非破坏性测量。因此，如果在内部节点处检测到粒子，则允许它继续经过该节点，以便它可以到达更下游的其他节点。如果希望通过粒子穿过内部节点x 时对粒子进行破坏性测量，则可以用错误的CB 或QB 网表示物理状况；所需要的是一个网络，该网络具有节点x 作为外部节点。

如果使用公式（9.11）（用χc替换为χ）作为量子力学定义的条件概率，则无法保证公式（9.11）将得到满足。

定义9.11 对于给定的ΓH，ΓE和(n′.) ΓE，定义量子非可加性因子（quan⁃tumnon-additivityfactor）fqna为:

如果fqna=1，则公式（9.11）（用χc 代替χ）和公式（9.18）一致；如果fq⁃na≠1，则公式（9.11）不能给出(n.) ΓH 的明确定义的概率分布，而公式（9.18）可以。

通过使用CB 和QB 网络，可以通过考虑路径上的总和、总和的类型（费恩曼（Feynman）提出的量子力学和Kac 提出的布朗运动）来计算概率。实际上，可以用路径上的总和而不是节点状态上的总和来表达经典和量子力学定义条件概率公式（9.11）和（9.18）。