现在，我们介绍Hilbert空间。为清晰起见，我们首先介绍3个重要基本概念，即度量空间、赋范线性空间和内积空间。
度量空间，简单说来是附有关联规则或函数的对象（例如数、矩阵）的集合，且空间中的任意两个对象的“距离”是确定的。它的很多直觉例子是关联∣x-y∣（x，y∈ℜ）的实数线。一般地，一个度量空间仅需满足4个条件，定义如下。
定义2.6 称（X，d）是一个度量空间，其中，X 是复数集，d 是指派度量函数d:X×X→ℜ，并具有下列性质:
（1）任意x，y∈X，有d（x，y）≥0（非负性）
（2）d（x，y）=0 当且仅当x=y，（非退化准则）
（3）任意x，y，z∈X，有d（x，y）=d（y，x）（对称准则）
（4）任意x，y，z∈X.有d（x，z）≤d（x，y）+d（y，z）（三角不等式）
在不致引起混淆时，我们把度量空间（X，d）简记为X.
定义2.8 称（V，<.，.>）是内积空间，其中，函数<.，.>:V×V→C，并具有下列性质：(www.xing528.com)
（1）任意v∈V，有<v，v>≥0，（非负性）
（2）<v，v>=0 当且仅当v=0.（非退化准则）
（3）任意u，v∈V 和λ∈C，有<λu，v>=λ<u，v>（数乘准则）
（5）任意u，w，v∈V，有<u+w，v>=<u，v>+<w，v>，（分配准则）
定义2.9 令（an）是度量空间（X，d）中的一个序列，称序列（an）是一个 Canchy 序列。若对于任意ε>0，存在n0∈N 使
当n，m>n0时，有d（an，am）<ε
定义2.10 若度量空间X 中的每个Canchy 序列都收敛到X 中的一个元素，则称X 是完全的。
定义2.11 称一个完全的内积空间ℋ 为Hilbert 空间。
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