等比数列的基本概念与通项公式

1.等比数列的基本概念

1.1　等比数列的定义

若数列{an}中,从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则称此数列为等比数列,称此常数为等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).

1.2　等比数列的通项公式

(1)等比数列{an}的通项公式

(2)等比数列通项公式的特征

1.3　等比数列的前n项和

(1)等比数列{an}的前n项和公式为

【易错点】等比数列的求和公式,当不能确定“q”的值时,应分q=1,q≠1两种情况来讨论.

(2)等比数列的前n项和公式的特征

典型例题

【解析】万能方法.

【答案】(A)

2.等比数列的性质

2.1　等比数列的单调性

若首项a1＞0,公比q＞1,则等比数列为递增数列;

若首项a1＞0,公比0＜q＜1,则等比数列为递减数列;

若首项a1＜0,公比q＞1,则等比数列为递减数列;

若首项a1＜0,公比0＜q＜1,则等比数列为递增数列;

若公比q=1,则等比数列为常数列;

若公比q＜0,则等比数列为摆动数列.

2.2　等比中项

2.3　下标和定理

(1)在等比数列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.

【注意】该性质可以推广到3项或者多项,但是等式两边的项数必须一样.

典型例题

例11

等比数列{an}中,a5+a1=34,a5-a1=30,那么a3=(　　).

(A)±8(B)-8(C)±5(D)-5(E)8

【解析】由题意,得

【易错点】在等比数列中,所有奇数项都是同号的,所有偶数项也都是同号的,但是相邻两项可能同号也可能异号.

【答案】(E)

例12正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3,a2a4=144,则S10的值是(　　).

(A)511(B)1023(C)1533(D)3069(E)3648

3.无穷等比数列

典型例题

例14一个球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回前一次高度的一半再落下.当它第10次着地时,共经过的路程是(　　)米(精确到1米且不计任何阻力).

(A)300(B)250(C)200(D)150(E)100(www.xing528.com)

【解析】第一次从高处下落,路程为100米;

第一次着地弹起,到第二次着地的路程为50+50=100(米);

第二次着地弹起,到第三次着地的路程为25+25=50(米).

【快速得分法】第一次从高处下落,路程为100米;

第一次着地弹起,到第二次着地的路程为50+50=100(米);

第二次着地弹起,到第三次着地的路程为25+25=50(米).

可知着地10次的总路程一定大于250米,只有(A)选项满足此条件.

【答案】(A)

本节习题自测

1.已知数列{an}为等比数列,则a9的值可唯一确定.

(1)a1a7=64.

(2)a2+a6=20.

2.无穷等比数列{qn}各项的和是3,则q=(　　).

3.若一元二次方程ax2+2bx+c=0(abc≠0)有两个相等实根,则(　　).

(A)a、b、c成等比数列(B)a、c、b成等比数列

(C)b、a、c成等比数列(D)a、b、c成等差数列

(E)b、a、c成等差数列

4.已知a、b、c既成等差数列又成等比数列,设α、β是方程ax2+bx-c=0的两根,且α＞β,则α3β-αβ　3等于(　　).

6.若2,2x-1,2x+3成等比数列,则x=(　　).

(A)log25(B)log26(C)log27(D)log28(E)log29

习题详解

1.(E)

【解析】两个条件单独显然不充分,联立之.

条件(1):由下标和定理,得a1a7=a2a6=64.

条件(2):a2+a6=20.

2.(A)

3.(A)

【解析】ax2+2bx+c=0有两个相等的实根,则方程的判别式Δ=0.

故(2b)2-4ac=4b2-4ac=0,即b2=ac,所以a、b、c成等比数列.

4.(A)

【解析】a、b、c既成等差数列又成等比数列,说明a=b=c≠0.

方程两边除以a,化为x2+x-1=0,结合韦达定理得

5.(A)

【解析】因为第三、四、七项构成等比数列,则a3a7=a24⇒a3(a3+4d)=(a3+d)2,化简,得d=2a3,则

6.(A)

【解析】由等比中项公式,可知(2x-1)2=2(2x+3),可得(2x)2-4·2x-5=0.令2x=t(t＞0),则t2-4t-5=0,得t1=5,t2=-1(舍去),即2x=5,x=log25.