特殊函数、方程与不等式简介

1.指数函数

1.1　指数函数的定义

形如y=ax(a＞0且a≠1)(x∈R)的函数叫作指数函数.

1.2　指数函数的图像和性质

1.3　指数的运算法则

如果a＞0且a≠1,那么

典型例题

【解析】化同底,得38-x2＞3-2x.因为底数3＞1,所以函数y=3x是增函数,原方程等价于8-x2＞-2x,化简,得x2-2x-8＜0,解得-2＜x＜4.

【答案】(B)

2.对数函数

2.1　对数函数的定义

形如y=logax(a＞0且a≠1)的函数叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

2.2　对数函数的图像和性质

2.3　对数的运算法则

如果a＞0且a≠1,M＞0,N＞0,那么

【易错点】对数公式其实并不是恒成立的,成立的前提是等号左右两边都满足对数的定义域,所以,在使用对数公式时,应该先考虑定义域问题.

典型例题

例34方程2log2x-3logx2-5=0的根为(　　).

【答案】(C)

【解析】若使对数式有意义,有4+3x-x2＞0,2x-1＞0,原不等式可化为loga(4+3x-x2)＞loga2(2x-1).

当a＞1时,y=logax是增函数,所以原不等式可化为不等式组,即(www.xing528.com)

本节习题自测

1.已知2x+2-x=4,则8x+8-x=(　　).

(A)64(B)52(C)56(D)60(E)54

4.关于x的方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1的解为(　　).

(A)1或-2(B)2(C)3(D)3或2(E)1

5.不等式logx-3(x-1)≥2的解集为(　　).

(A)x＞4(B)4＜x≤5(C)2≤x≤5(D)0＜x＜4(E)0＜x≤5

习题详解

1.(B)

3.(E)

【解析】根据定义域可知

4.(E)

【解析】整理可得,lg(x2+11x+8)=lg(x+1)+lg10=lg10(x+1).

那么x2+11x+8-10(x+1)=0,即x2+x-2=0,故x=1或x=-2.

当x=1时,x2+11x+8＞0、x+1＞0,符合对数函数的定义域;

当x=-2时,x2+11x+8＜0、x+1＜0,不符合对数函数的定义域,舍去.

故方程的解为1.

5.(B)

【解析】根据对数函数的定义域及单调性分情况讨论,原不等式等价于

两种情况求并集,解得4＜x≤5.