1.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.所有的实数都可以用数轴上的点来表示,也可以用数轴来比较两个实数的大小.
2.绝对值
几何意义:|a|表示在数轴上a点与原点0之间的距离.
|a-b|表示在数轴上a点与b点之间的距离.
典型例题
例21|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=a+b-c.
(1)a,b,c在数轴上的位置如下:
(2)a,b,c在数轴上的位置如下:
【解析】条件(1):由a,b,c在数轴上的位置关系得
|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=a-b-c-a-b+b-c-a+c=-a-b-c.
所以,条件(1)不充分.
条件(2):由a,b,c在数轴上的位置关系得
|a|+|b|+|c|-|a+b|+|b-c|-|c-a|=-a-b+c+a+b-b+c+a-c=a-b+c.
所以,条件(2)不充分.
两个条件无法联立.
【答案】(E)
例22已知|a|=5,|b|=7,ab<0,则|a-b|=( ).
(A)2(B)-2(C)12(D)-12(E)0
【解析】
方法一:由ab<0,可知a=5,b=-7或a=-5,b=7,分别代入得|a-b|=12.
方法二:绝对值的几何意义.
|a-b|表示在数轴上a点与b点之间的距离.当ab<0时,a、b两点在原点的两侧,画数轴易知,距离为|a-b|=|a|+|b|=5+7=12.
【答案】(C)
【快速得分法】排除法.
由绝对值的非负性,知|a+b|≥0,所以排除(C)、(E)项;显然|a+b|≠0,因为a,b不可能互为相反数,所以排除(A)、(B)项.
【答案】(D)
例24设a,b,c为整数,且|a-b|20+|c-a|41=1,则|a-b|+|a-c|+|b-c|=( ).
(A)2(B)3(C)4(D)-3(E)-2
【解析】观察选项可知,答案只能是一种情况,故可用特殊值法.
令a=b=0,c=1,代入可得|a-b|+|a-c|+|b-c|=2.
【答案】(A)
例25
实数a,b满足:|a|(a+b)>a|a+b|.
(1)a<0.
(2)b>-a.
【解析】条件(1):举反例,令a=-1,b=1,显然不充分.
条件(2):举反例,令a=0,显然不充分.
联立两个条件:
由条件(2)可得a+b>0,所以a+b=|a+b|,原不等式可化为|a|>a.
由条件(1)a<0,可知|a|>a成立.
故两个条件联立起来充分.
【答案】(C)
3.绝对值的性质
典型例题(www.xing528.com)
所以a<b.
【答案】(C)
【解析】当a,b,c为三负时,结果为-3;
当a,b,c为三正时,结果为3;
当a,b,c为两正一负时,结果为1;
当a,b,c为一正两负时,结果为-1.
故有4种可能的取值.
【答案】(D)
4.三角不等式
(1)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
等号成立的条件:
左边等号:ab≤0;右边等号:ab≥0.
口诀:左异右同,可以为零(即左边等号成立的条件是a,b异号,右边等号成立的条件是a,b同号,a,b中的任意一个为零,等号也成立).
(2)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
等号成立的条件:
左边等号:ab≥0;右边等号:ab≤0.
口诀:左同右异,可以为零(即左边等号成立的条件是a,b同号,右边等号成立的条件是a,b异号,a,b中的任意一个为零,等号也成立).
典型例题
【解析】方法一:三角不等式|x-y|≤|x|+|y|,当x、y异号时等号恒成立,故两个条件都成立.
方法二:绝对值的几何意义.
|x-y|表示数轴上点x与点y之间的距离.当x、y异号时,点x、点y位于原点的两侧,点x与点y的距离为x、y到原点的距离之和,即|x-y|=|x|+|y|.
【答案】(D)
本节习题自测
7.x=8.
(1)|x-3|=5.(2)|x-2|=6.
8.不等式|1-x|+|1+x|=2.
(1)x∈[-1,1].(2)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
习题详解
1.(C)
4.(B)
【解析】方法一:分组讨论:
①b=4⇒a<1⇒|a-1|=1-a=3⇒a=-2⇒|a-1-b|=7;
②b=-4⇒a>1⇒|a-1|=a-1=3⇒a=4⇒|a-1-b|=7.
方法二:三角不等式法.
7.(C)
【解析】条件(1):|x-3|=5,即x-3=5或x-3=-5,解得x=8或x=-2,所以条件
(1)不充分.
条件(2):|x-2|=6,即x-2=6或x-2=-6,解得x=8或x=-4,所以条件(2)不充分.
条件(1)和条件(2)联立可以推出x=8.故两个条件联立充分.
8.(A)
【解析】根据三角不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可将1-x看作a,1+x
看作b,得
右边一组不等式可化简为2≤|1-x|+|1+x|,再根据三角不等式等号成立的条件,可知
当(1-x)(1+x)≥0时,右边等号成立,解得-1≤x≤1,条件(1)充分,条件(2)不充分.
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