浮点加减法运算规则、步骤及结果

两个浮点数进行加、减的运算规则是：首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数的阶码相等，表示小数点是对齐的，就可进行尾数的加、减；反之，若两数阶码不等，表示小数点位置没有对齐，要通过对阶使两数的阶码相等。对阶完后才能做尾数的加、减。运算结果可能不是规格化的数，为了保证运算精度，需要对运算结果进行规格化。而在对阶和规格化的过程中可能有数码丢掉，为了减少误差，还需要进行舍入。总之完成浮点加法和减法运算，需要进行对阶、求和（差）、规格化和舍入等步骤。

1.对阶

要对阶使两数的阶码相等，首先应求出两数阶码ex和ey之差，即Δe=ex-ey。当Δe≠0时，要通过尾数的移位来改变ex或ey，使它们相等。原则上，既可以通过Sx移位以改变ex来达到ex=ey，也可以通过Sy移位以改变ey来使ex=ey。但是，由于浮点表示的数是规格化的，尾数左移会引起最高有效位的丢失，造成很大误差。而尾数右移虽然引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小。因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后使阶码相应增加，其数值保持不变。很显然，一个增加后的阶码与另一个阶码相等，所增加的阶码一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶对齐，即小阶的尾数向右移位（相当于小数点左移）。每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差Δe。

例2-20：两浮点数x=201×0.1101，y=211×（-0.1010），求x+y=？

解：假设两数在计算机中的表示规则为：阶码（4位，前4位，补码表示），尾数（6位，双符号位补码表示），则x和y表示成

x→0001 00 1101

y→0011 11 0110

要进行加法运算，必须先对阶，故先求阶差[Δe]补=[ex]补+[-ey]补=0001+1101=1110，即Δe=-2，表示ex比ey小2，因此将x的尾数右移二位：右移一位，得[x]补=0010 00 0110，再移一位，得[x]补=0011 00 0011，至此。两数的阶差Δe=0，表示对阶完毕。

2.尾数求和

例2-20中，对阶完毕后可得

[x]补=0011 00 0011

[y]补=0011 11 0110(www.xing528.com)

对尾数求和即得[x+y]补=0011 11 1001。

3.规格化

求和之后得到的数可能不是规格化数，为了增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和的结果规格化。

例2-21：对例2-20中的求和结果规格化。

解：在例2-20中，尾数求和的结果是

[x+y]补=0011 11 1001

由于符号位和第一位数相等，不是规格化数，需要规格化，称为向左规格化。只要尾数左移一位，阶码减1，得规格化结果是

[x+y]补=0010 11 0010

在浮点加、减运算时，尾数求和的结果也可能得到01φ…φ或10φ…φ，即两符号位不相等，这在定点加、减运算中称为溢出，是不允许的。但在浮点运算中，它表明尾数求和结果的绝对值大于1，此时，将尾数右移一位，阶码加1即可，称为向右规格化。

4.舍入

在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，故应进行舍入处理。常用的舍入方法有两种：一种是“0舍入”法，即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加1。另一种是“恒置1”法，即只要有数位被移掉就在尾数的末位恒置1。