大学物理实验：测量有效数字的运算法则

实验中所有的直接测量结果都只能是近似数，由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似值，显然几个近似数的运算不可能使运算结果更准确，而只会增大其误差，因此近似数的表示和计算都有一些规则，以便确切表示记录和运算结果的近似性。

总的原则是：测量结果的有效数字的位数应由合成不确定度来决定；运算过程的中间数据可以保留一位或两位可疑数字；最后结果的有效数字，末一位应与合成不确定度末位对齐。

有效数字有其自身的一套运算法则。一般来说，可靠数字与可靠数字进行四则运算，结果仍为可靠数字。可靠数字与可疑数字进行四则运算，结果为可疑数字。

1.有效数字的加减运算

有效数字进行加、减运算，运算结果的有效数字位数与参与运算的各数中的可疑位数最高者相同。

例1-2

其中有效数字下面加横线表示其为可疑数。

根据保留一位可疑数原则，计算结果应为，其可疑位与参与求和运算的3个数中可疑位最高的14.61相同。

推论：测量结果是由若干个观测量进行加、减运算得到时，选用精度相同的仪器进行测量最为合理。

例1-3 N=A+B-C。其中A=（98.7±0.3）cm，B=（6.238±0.006）cm，C=（14.36±0.08）cm。

解由于uc（B）≪uc（A）和uc（C），故在方合根合成时，uc（B）可忽略，所以

2.有效数字的乘除运算

有效数字进行乘、除运算，乘积与商的有效数字位数一般与参与运算的各数中有效位最少者相同。

例1-4只保留一位可疑数，乘积结果为42.2，即为三位数，与乘积中有效位最少的10.1的位数相同。

推论：测量结果是由若干个观测量进行乘、除运算得到时，应按使测量值有效位数相同的原则选择仪器。

例1-5 求立方体体积V。已知：L=（22.455±0.002）mm，H=（90.35±0.03）mm，B=（279.68±0.05）mm。

解 1）V=LHB=

3.有效数字的乘开方运算

乘、开方运算的有效数字一般与其底的有效数字位数相同。如：

4.有效数字的函数运算(www.xing528.com)

函数运算的有效数字，一般来说，应按间接量测量误差传递公式进行计算后决定，间接测量的结果的有效数字应由不确定度确定。

在普通实验中，为了简便统一，对常用的对数函数、指数函数和三角函数按如下规则处理：

1）对数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数取成与真数的位数相同。例如：

2）指数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数取成与指数中小数点后的位数相同。例如：

3）三角函数运算结果中有效数字的取法，可采用试探法，即将自变量欠准位上下波动一个单位，观察结果在哪一位上波动，结果的欠准位就取在该位上。例如：

x=43。26′，求sinx。查表得

比较可知，应取

例1-6 已知=1988±3，y=lgx，求y。

解 查对数表或用计算机计算出

由不确定度传递公式可知

例1-7 已知=60。00′±0。02′，y=sinθ，求y。

解

由不确定度传递公式可知，将θ值用角度、uc（θ）化为弧度值代入可得

5.有效数字的舍入（修约）法则

根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不影响最好结果应保留位数的前提下，可以在运算前按较结果多一位的原则对数据进行舍入，最后的计算结果也应该按有效数字的定义进行舍入。其舍入原则是“四舍六入五配偶”，即得数是4或小于4者应舍去；6或大于6者应进入；要舍入的数是5时，则视拟保留的最后一位是奇数时入，偶数（0视为偶数）时舍。

如将下列数据修约到千分位：

3.14169→3.142　3.1435→3.144　2.71829→2.718

0.3765→0.376　5.71252→5.712　4.56448→4.564