大学物理实验：误差的分类和减小

1.误差的定义

对任何一个被测量，在实验的当时条件下，均有不依人的意志为转移的真实大小，称此值为被测量的真值，一般用x0表示。测量的理想结果是真值，但是它是不能确知的。因为，首先测量仪器只能准确到一定程度，其次有理论的近似性、实验者操作和读数不能十分准确、环境条件的影响等，使得测量值x与真值x0总是有差异。把测量值与真值之差定义为误差，一般用Δ表示，即

在式（1-1）中，误差是带有单位的数，可正可负。误差反应测量值偏离真值的大小和方向。真值只是理想概念，一般情况下真值是未知的。只有在某些特殊情况下，真值可认为是已知的，主要包括以下几种情形：

1）理论真值。理论值如三角形内角和为180。，这是公认值；各国公认的一些常数。

2）约定真值。计量学约定的真值，如国际计量机构指定选取的7个SI基本单位。

3）标准器具的相对真值。用准确度高一个等级的仪器校正的测定值。

4）算术平均值。通常将某已被测量在重复条件或复现条件下的多次测量结果的平均值作为最佳值并视作为约定真值。

任何测量都存在误差。由于真值是不能确知的，所以误差也是不能确知的。在此情况下，测量的任务是设法将测得值中的误差减至最小；求出在测量条件下被测量的最佳估计值；用测量误差对最佳估计值作出可靠性估计。

2.误差的表示形式

（1）绝对误差

绝对误差与测量误差定义相同，即

Δ=x-x0

绝对误差是带有单位的数，可正可负。绝对误差反应测量值偏离真值的大小和方向。绝对误差可表示某一测量结果的优劣，但比较不同测量结果则不适用。

（2）相对误差

把绝对误差与被测量真值的比值称为相对误差，用式子可表示为

相对误差是无量纲数，通常用“%”表示。

（3）引用误差

引用误差定义为测量仪器绝对误差与测量范围上限（或量程）的比值，即

引用误差通常用百分数“%”来表示，主要用于仪器误差的表示，实际上是一种简化的使用方便的仪器仪表的相对误差。仪表量程或测量范围内各点的引用误差一般不相同，其中最大的引用误差称为引用误差限，去掉引用误差的正负号及“%”后，成为仪器的准确度等级。电工仪表的准确度等级分别规定为0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，1.0，2.0，2.5，3.0和5.0等11级。

3.误差的分类

任何测量的误差都是多种因素引入误差的总体效果。为了研究如何减小误差及对误差作出评估，我们按照误差产生的原因和性质，将其分类加以讨论。实验中的误差一般分为系统误差和随机误差两类。

（1）系统误差

在相同条件（方法、仪器、环境、观测人不变）下，对同一物理量作多次测量时，误差的符号和绝对值保持不变，或是按某一确定的规律（为线性、周期性等）变化的误差称为系统误差。由定义可知，系统误差的特点是具有方向性和等值性，不服从统计规律，不能靠增加测量次数来减少误差。

1）系统误差的来源。系统误差是由某些确定的或按确定规律变化的因素造成的。其产生的原因主要有：

a.仪器（装置）误差。这是由于仪器或装置不完善而产生的误差。测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体，它的误差来源于标准器具误差、仪器仪表误差、附件误差等。

·标准器具误差。标准器具误差是指以复现量值的计量器具，如标准电池、标准量块、标准电阻等。由于使用条件或加工制作不够完善等原因，标准器具复现的量值是有误差的，它将直接影响被测量的测量结果的准确性。

·仪器仪表误差。测量仪器仪表是指能将被测量转化为可直接观测的指示值或等效信息的计量器具，如天平、电桥等比较仪器，温度计、秒表、电流表、电压表、检流计等指示仪器。由于仪器仪表在加工、装配和调试中，零点不准、示值刻度不准、刻度盘和指针安装偏心、天平两臂不等长、砝码的标称质量不准等，不可避免地存在误差，以至仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。

·附件误差。为测量创造必要条件或使测量方便进行而使用的各种辅助配件，均属测量附件。如开关、导线均为测量附件，且均产生测量误差。

b.方法（理论）误差。这是由于实验方法本身或理论不完善而产生的误差。

例如，用单摆测定重力加速度g，所依据的单摆周期公式是在摆角θ＜5。，以米尺测摆长，以秒表测时间，且视摆球为质点，忽略其浮力和阻力，摆线为轻线等情况下的近似公式。若不满足此条件，或在此条件下提高所用仪器的精度（如改用测长仪、数字毫秒计等）都会出现系统误差。

c.环境误差。在测量过程中，由于外界环境如温度、湿度、电磁场、气压等环境条件发生的规律性变化而引起的误差称为环境误差。

d.人身误差。这是由于观测者心理、生理条件以及各人不同的反应速度、分辨力、固有习惯及操作经验等因素引起的。如同一时刻按下秒表，因有人动作迅速、有人动作迟缓而引起的误差。

系统误差的数值和符号（正、负）一般来说是定值或按某种规律变化。因此系统误差是可以被发现、减小、消除或修正的，但不能通过多次测量来减小或消除。对实验者来说，系统误差的规律及其产生原因可能已知道，也可能不知道。已经确切掌握了其大小和符号的系统误差称为已定系统误差，对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的极限范围。

要找准产生系统误差的原因无一定的规律可循。只有提高实验素养，逐渐积累经验，才能分析发现系统误差产生的原因，从而采取适当的措施对测量结果进行修正或使之降低到可忽略的程度。

2）系统误差的发现。在许多情况下，系统误差常常不明显地表现出来，然而它却是影响测量结果不准确的主要因素，甚至有些系统误差会给实验结果带来严重影响。因此，发现系统误差，设法修正、减小或消除它的影响，是误差分析的一个重要内容。由于系统误差的处理涉及较深的知识，这里只做简要介绍。

·数据分析法。当随机误差比较小时，将待测量的绝对误差按测量次序排列，观察其变化。若绝对误差不是呈随机变化而呈规律性变化，如线性增大或减小、周期性变化等，则测量中一定存在系统误差。

·理论分析法。分析实验依据的理论公式所要求的条件在实验测量过程中是否得到满足；仪器工作状态是否正常；实验人员是否有产生系统误差的心理与生理因素。

·实验对比法。通过改变产生系统误差的条件（通常该用更高准确度的仪器或器具），在不同条件下进行检定性测量，比较测量结果，从而发现系统误差。实验对比法是发现并确定系统误差最有效、最常用的方法。

3）系统误差的消除与修正。任何实验仪器、理论模型、实验条件，都不可能理想到不产生系统误差的程度。对于系统误差，一是要进行修正，二是要消除其影响。

a.消除产生系统误差的根源。如果能够找到产生系统误差的根源，无论实验仪器、理论模型还是实验条件，我们都可以使其更完善，从而减小系统误差的影响。

b.用修正值对测量结果进行修正。用标准仪器对测量仪器进行校准，找到其修正值或校准曲线，从而对测量结果进行修正。对由理论公式的近似造成的误差，找出修正值进行修正。

c.选择适当的测量方法，减小和消除系统误差。

·交换法。交换法测量就是将测量中的被测量与标准量的位置相互交换，使两次产生系统误差的因素对测量结果的影响起相反作用，从而达到消除系统误差的目的。

·替代法。在一定条件下，对某一被测量进行测量后，不改变测量条件，再用同一性质的已知标准量代替被测量进行同样的测量，并使仪器的指示保持不变，这时的标准量即为被测量值，这样就消除了标准量本身的定值系统误差以外的其他系统误差。

·抵消法。改变测量中的某些条件进行两次测量，使两次测量中误差的大小相等、符号相反并取其平均值作为测量结果以消除系统误差。

·对称法。若在测量过程中存在随时间或其他因素成线性规律变化的系统误差，可以选择某一时刻点为中心，取与该时刻对称的任意两个时刻点测量值的平均值作为一个测量值，这样就可把线性变化的系统误差转化为可修正的定值系统误差。当选择中点的系统误差值为零时，测量结果不存在系统误差，从而达到消除系统误差的目的。

·半周期偶数法。半周期偶数测量法就是按系统误差变化的半个周期进行一次测量，每个周期内得到两个测量值，取其平均值作为测量结果，从而消除周期性变化的系统误差。

（2）随机误差（偶然误差）

假如在实验中已消除了系统误差和粗差，在相同条件下，对同一物理量进行多次重复测量，各次测量的误差时大时小、忽正忽负变化不定，这种由于偶然的或不确定的因素所造成的测量值相对于真值的无规则的涨落称为随机误差。随机误差的特点是绝对值和符号随机变化，没有确定的规律。(www.xing528.com)

随机误差是多项无法预料的偶然因素对测量结果的综合影响。如实验台的震动；气压、温度、电源电压的波动；空间杂散电磁波的干扰；仪器、设备在使用过程中的变动等；实验条件和环境因素的微小或无规则的变化；实验者反应快慢不一；个人情绪等造成的精力不集中等。但若测量次数足够多，随机误差的分布却是有规律的，它遵从一定的统计规律。这样，使我们可以借助严密的数学工具，以一定的统计理论来研究处理它。

本节中，假定系统误差已经被减弱到足以被忽略的程度。

1）随机误差的统计学分布规律。如前所述，随机误差是由一些不确定的因素或无法控制的随机因素引起的。这些因素使得每一次测量中误差的大小和正负没有规律，从表面上看纯属偶然。但是，大量实践证明：当对某个被测量物重复进行测量时，测量结果的随机误差却服从一定的统计学分布。常见的一种是随机误差服从正态分布（高斯分布）规律，其分布曲线如图1-1所示。该分布曲线的横坐标Δ为误差，纵坐标f（Δ）为误差的概率密度分布函数。分布曲线的含义是：在误差附近，单位误差范围内误差出现的概率。即误差出现在Δ～Δ+dΔ区间内的概率为f（Δ）·dΔ。Δ常常采取多次测量方法的原因就在于此。但是，当测量次数有限时，随机误差是不能消除的，测量后必须进行误差估算。为定量估算，下面进一步考查正态分布曲线。理论研究表明，正态分布的误差概率密度分布函数f（Δ）可表示为

图1-1　随机误差分布特点

由图1-1可以看出，正态分布的随机误差具有以下特点：

a.单峰性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

b.对称性。大小相同、符号相反的误差出现的机会相同。

c.有界性。在实际测量中，超过一定限度的绝对值更大的误差一般不会出现。

d.抵偿性。随机误差的算术平均随着测量次数的增加趋近于零，即

在某一次测量中，随机误差出现在a～b内的概率应为

给定的区间不同，P的大小也不同。给定的区间越大，误差越过此范围的可能性越小。显然，在-∞～+∞内，P=1，即

由理论可进一步证明，Δ=±σ是曲线的两个拐点的横坐标值。当Δ→0时，有

由图1-2可见，σ越小，必有f（0）越大，分布曲线中部上升越高，两边下降越快，表示测量的离散性小；与此相反，σ越大，必有f（0）越小，分布曲线中部下降较多，误差的分布范围较宽，测量的离散性大。因此，σ这个量在研究和计算随机误差时是一个很重要的特征量，标志测量误差的离散程度。σ被称为标准误差。

图1-2　正态分布曲线

理论上，标准误差由下式表示：

式中，n为测量次数，xi为第i次测量的测量值，x0为被测量的真值。该式成立的条件是要求测量次数n→∞。

根据概率密度的含义，某次测量的随机误差出现在[-σ，σ]内的概率，可以证明为

此式表示，在一组重复性测量数据中，有68.3%的数据测量误差落在[-σ，σ]内。也可认为，任一测量数据的误差落在区间[-σ，σ]内的概率为68.3%，把其称作置信概率，而[-σ，σ]称为68.3%的置信概率所对应的置信区间，如图1-2所示。

更广泛地，置信区间可由[-kσ，kσ]表示，称为包含因子（或置信因子），可根据需要选取不同大小的值。同理，取k=2或k=3，置信区间[-2σ，2σ]和[-3σ，3σ]内的置信概率分别为95.5%和99.7%。

可以看出，如果置信区间为[-3σ，3σ]，测量误差超出该区间的概率很小，只有0.3%，即进行1000次测量，只有3次测量误差可能超过[-3σ，3σ]。对于有限次测量（次数少于20次），超出该区间的误差可以认为不会出现，因此常将+3σ称为极限误差。如果某次测量值的误差超过这个值，通常认为是坏数据，应当剔除。

2）随机误差的估算。众所周知，实际测量的次数是不可能达到无穷大的，且被测量的真值也是不可能得到的，因此标准误差σ的计算只有理论上的意义。下面介绍物理实验中随机误差的估算方法。

a.被测量的算术平均值。在相同条件下，对被测量x进行n次测量，测量值分别为x1，x2，…，xn，则测量值x的算术平均值被定义为

根据随机误差的抵偿性，随着测量次数的增大，算术平均值越接近真值。因此，测量值的算术平均值为近真值或测量结果的最佳值。

b.标准偏差。在有限次数的测量（n≥5）中，可用标准偏差s作为标准误差σ的估计值。标准偏差s的计算公式如下：

式中，xi-是测量值与算术平均值之差，称为偏差。

标准偏差s有时也称为标准差，它具有与标准误差σ相同的概率含义。式（1-7）称为贝塞尔公式。

c.算术平均值的标准偏差。被测量x的有限次测量的算术平均值，也是一个随机变量。即对x进行不同组的有限次测量，各组测量结果的算术平均值是不会相同的，彼此之间会有所差异。因此，有限次测量的算术平均值也存在标准偏差。如用表示算术平均值的标准偏差，可以证明，与s（x）之间有如下关系：

或表示为

被测量x的有限次测量的算术平均值及其标准差被求得以后，意味着被测量x的真值x0落在内的可能性为68.3%，落在内的可能性为95.5%，落在内的可能性为99.7%。

例1-1 对某一长度测量了10次，测得数据分别为63.57，63.58，63.55，63.56，63.56，63.59，63.55，63.54，63.57，63.57（单位：cm）。求其算术平均值、标准偏差、算术平均值的标准偏差。

解 算术平均值为

标准偏差s（l）为

算术平均值的标准偏差为

由例1-1以可看出，平均值的标准差比单次测量的标准差小。随着测量次数的增加，平均值的标准差越来越小。但当测量次数n＞10以后，增加次数对平均值标准差的降低效果很小，不能单纯通过增加次数来提高测量精度。科学研究中测量次数一般取10～20次，而在大学物理实验中一般取5～10次。